函数G（s）=k/s(s+1)(s+2)的根轨迹的起点、终点与根轨迹的条数以及根轨迹的分离点与相应的根轨迹增益以及临界稳定时的根轨迹增益

好的，让我来回答你的问题。

首先，函数G（s）=k/s(s+1)(s+2)的根轨迹的起点、终点与根轨迹的条数可以通过以下步骤得到：

1. 计算系统的极点和零点：系统的极点是s=0、s=-1、s=-2，而系统的零点是不存在的（k是一个常数）。

2. 确定根轨迹的数量：由于系统有3个极点，所以根轨迹的数量为3。

3. 确定起点和终点：起点和终点是分别位于实轴的左侧和右侧的极点，因此起点为s=-1，终点为s=-2。

4. 确定分离点和相应的根轨迹增益：分离点是位于实轴上的一个点，使得从该点开始，根轨迹进入到虚轴上。在这个例子中，分离点是s=0。而相应的根轨迹增益可以通过求解特定方程得到。

5. 确定临界稳定时的根轨迹增益：临界稳定时，系统的根轨迹经过s=-0.5+j0的点。相应的根轨迹增益也可以通过求解特定方程得到。

希望我的回答对你有所帮助。

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K/(s+1)(s+2）的根轨迹

根据根轨迹的定义，我们可以通过改变系统的增益K来观察系统的极点随着K的变化而移动的轨迹。

首先，我们将系统的传递函数化简为标准形式：

K/(s+1)(s+2) = K/[(s+1+j0)(s+1-j0)(s+2)]

其中 j0 为纯虚数。

然后，我们可以通过画出系统的极点位置来确定根轨迹的形状。由于系统的分母为二次多项式，因此它的极点一定是复共轭对称的，且一个在左半平面，一个在右半平面。同时，由于系统的分母中包含一个一阶项(s+2)，因此它的根轨迹会从s=-2处开始，随着增益K的增加而向左上方移动。

因此，K/(s+1)(s+2)的根轨迹是从s=-2处开始，向左上方移动，并以s=-1为渐近中心轨迹。当K趋近于无穷大时，根轨迹趋近于以s=-1为中心，半径趋近于无穷大的圆形。

开环传递函数G（s)=1/(s^2+s+1)

开环传递函数 G(s) = 1/(s^2 s + 1) 可以表示为：

1
G(s) = ---------------
s^3 + s

使用部分分式分解，将 G(s) 表示为：

A B C
G(s) = -----------------------
s (s^2 + 1)

其中，A、B、C 是待求系数。

将 G(s) 带入上式，得：

1 = A(s^2 + 1) + Bs + C(s^3 + s)

化简上式，得：

s^3 + s = (A + C)s^3 + Bs + (A + C)

将 s^3、s^1、s^0 三项分别比较系数，得到：

A + C = 0
B = 0
A + C = 1

解上述方程组，得到：

A = 1/2
B = 0
C = -1/2

因此，将 A、B、C 的值带入部分分式分解的公式中，得到开环传递函数 G(s) 的分解式为：

1/2 -1/2
G(s) = --------------- + ---------------
s s^2 + 1

这个分解式可以帮助我们更好地分析系统的性质和设计控制器。