在数学中，Riemann积分与Lebesgue积分有何本质区别，且它们在积分理论中各自扮演什么样的角色？

Riemann积分与Lebesgue积分是积分理论中两个重要的概念，它们在数学的发展中扮演着不可或缺的角色。Riemann积分是在19世纪由Bernhard Riemann提出的，它关注函数在区间上的值与区间的长度的乘积之和。其基本思想是将区间分割成若干小区间，计算函数在这些小区间上的值与小区间长度的乘积，再将这些乘积和的极限作为积分值。Riemann积分的理论要求函数在积分区间内必须有界且几乎处处连续。

参考资源链接：[斯坦尼斯拉夫·萨克斯的积分理论电子书](https://wenku.csdn.net/doc/13996qgm74?spm=1055.2569.3001.10343)

相比之下，Lebesgue积分由Henri Lebesgue于20世纪初提出，它采用了一种更为精细的方法来衡量函数的积分。Lebesgue积分的创新之处在于引入了测度论的概念，可以对非常广泛的一类函数进行积分。它不是直接对函数值与区间长度的乘积求和，而是通过对值域上的集合（即函数图像下的面积）进行分割，再求和。这使得Lebesgue积分能够处理那些不连续的或在某些区间内无定义的函数。

在积分理论中，Riemann积分是Lebesgue积分的基础，它适用于处理连续或分段连续的函数。而Lebesgue积分由于其更一般的理论框架，在现代数学分析、概率论和泛函分析等领域中占据核心地位。Lebesgue积分不仅可以处理Riemann积分无法处理的问题，还为理解函数的深层性质提供了工具，例如在测度论和现代概率论的发展中起到了关键作用。

为了深入理解这两个积分理论的本质区别及其应用，建议阅读由DR. Stanislaw Saks所著的《Theory of the Integral》，该书详尽地介绍了积分理论的基本概念、性质以及在数学和物理学中的应用。特别是第二版经过重新安排和修订，更正了一些内容，提供了更为完善的理论分析，是研究积分理论不可或缺的资源。

参考资源链接：[斯坦尼斯拉夫·萨克斯的积分理论电子书](https://wenku.csdn.net/doc/13996qgm74?spm=1055.2569.3001.10343)