Lebesgue积分与Riemann可积性-函数间断点的角色

"这篇文档是关于数学分析中的多元函数积分和可积性的讨论，特别是针对矩形区域上的函数。文章提到了Lebesgue的可积性定理，并解释了函数在矩形边界上的行为，以及如何通过振幅来判断函数的连续性和可积性。此外，还介绍了微积分历史的发展阶段，包括牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人的贡献。" 在数学分析中，多元函数的积分是微积分学的一个重要分支，特别是在处理多维空间中的问题时。这里提到的"矩形的边界和可积函数的图像"是指在二维或更高维度的矩形区域内，函数的积分行为。如图13.4所示，矩形的边界通常被视为零测集，这意味着它们在积分计算中占据的"体积"可以忽略不计。 描述中的内容涉及到Lebesgue的可积性定理，它指出一个在矩形I上的有界函数f是Riemann可积的，当且仅当它的间断点集Df是零测集。这意味着，如果函数f在大部分点上连续，只有少数离散的点不连续，那么f是可以被积分的。函数的振幅ωpf, xq在点x处定义为f在该点附近的最大变化量，它能用来衡量函数在某点的不连续程度。当ωpf, xq趋于0时，f在x处连续。 推论13.1.9说明，如果一个函数在某个矩形I上可积，那么它在其包含的任意矩形J上也是可积的；同时，如果一个矩形I被若干个小矩形覆盖，且函数在每个小矩形上都可积，那么在大矩形I上，函数也是可积的。这个结论有助于理解和应用积分的性质，特别是在复杂的几何区域上进行积分计算时。 微积分的发展历程从牛顿和莱布尼兹的时代开始，逐步形成了严格的极限理论，这为后来的微分和积分的深入研究奠定了基础。20世纪，随着外微分形式的发展，微积分的基本公式得到了更深层次的统一。 在教材的编排中，作者梅加强选择了一些与传统内容不同的切入点，比如在连续函数章节就引入了积分的概念，使得微积分的基本定理——Newton-Leibniz公式得以提前介绍。这样的安排有助于读者更早地理解积分的意义和应用。此外，实数构造和确界原理作为一元分析的基础，也在教材中占有重要地位。 这段内容涵盖了数学分析中的关键概念，包括函数的连续性、可积性、微积分的历史和发展，以及这些概念在实际问题中的应用。通过这些知识的学习，读者能够更好地理解和运用多元函数积分来解决实际问题。