请详细解释Riemann积分与Lebesgue积分在定义、性质以及适用场景上的本质区别，并说明它们各自在现代数学分析中的重要性。

Riemann积分与Lebesgue积分是现代数学分析中两种不同的积分定义，它们在处理函数积分时具有本质的区别。Riemann积分是通过划分函数的定义域，使用区间上的最大值和最小值来近似函数在某个区间上的积分，其核心在于定义域的划分。而Lebesgue积分则有所不同，它通过划分值域来测量函数在某一区间上的积分，关注的是函数值的分布情况。在定义上，Lebesgue积分允许对更广泛的函数类进行积分，包括一些Riemann不可积的函数，如Dirichlet函数。

参考资源链接：[斯坦尼斯拉夫·萨克斯的积分理论电子书](https://wenku.csdn.net/doc/13996qgm74?spm=1055.2569.3001.10343)

Lebesgue积分的一个重要性质是它将积分理论与测度论相结合，从而能够更精细地处理函数的积分，尤其在处理无穷序列的极限、绝对连续函数以及奇异积分等领域显示出了其优越性。Riemann积分则因其直观性和易于计算的特点，在工程和物理学中仍然有广泛的应用。

在数学分析中，Riemann积分和Lebesgue积分各自扮演着不同的角色。Riemann积分由于其直观性和计算上的简洁性，对于初学者来说是一个很好的积分概念的引入。而Lebesgue积分不仅加深了我们对积分理论的理解，还为现代数学的许多分支，如泛函分析、概率论以及抽象测度理论等提供了理论基础。

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