如何使用Maple软件中的`Sum`函数和审敛法来确定一个函数项级数是否收敛？请以级数`∑(1/(k*(k+1)))`为例。

掌握Maple软件中的`Sum`函数和审敛法是进行数值级数和函数项级数分析的关键步骤。这里将通过级数`∑(1/(k*(k+1)))`来展示如何操作。

参考资源链接：[Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数](https://wenku.csdn.net/doc/urtnmab6gu?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，Maple的`Sum`函数可以直接用来计算级数的和，但它不会自动判断级数的收敛性。因此，我们需要结合审敛法来判断级数的收敛性。级数`∑(1/(k*(k+1)))`可以改写为`∑(1/k - 1/(k+1))`，这是一个典型的收敛级数，但为了演示审敛法，我们可以使用比较测试。

比较测试是通过将未知级数与已知收敛性级数进行比较来判断其收敛性。考虑级数`∑(1/k^2)`，它是一个已知收敛的p级数（p > 1）。由于`1/(k*(k+1)) < 1/k^2`对于所有的k都成立，我们可以断定级数`∑(1/(k*(k+1)))`也是收敛的。

在Maple中，我们可以这样进行操作：

# 计算级数的和
S := Sum(1/(k*(k+1)), k=1..infinity);
# 展开级数的通项表达式进行比较测试
k := 'k':
1/k - 1/(k+1);
# 使用比较测试来验证收敛性
# 这里我们仅进行说明，Maple中并没有直接的比较测试函数，而是需要用户自行根据已知的收敛级数进行判断

通过上述步骤，我们不仅计算出了级数的和，还使用审敛法验证了级数的收敛性。Maple强大的代数运算能力使得这类操作变得直观和高效。

为了深入理解Maple在数值级数和函数项级数中的应用，推荐阅读《Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数》一书。该书详细介绍了Maple中求和函数和审敛法的应用，提供了丰富的实例和深入的分析，是学习Maple进行级数计算不可或缺的资源。

参考资源链接：[Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数](https://wenku.csdn.net/doc/urtnmab6gu?spm=1055.2569.3001.10343)