如何利用Maple软件中的`Sum`函数和审敛法来判断函数项级数`∑(1/(k*(k+1)))`的收敛性？

在使用Maple软件来探究函数项级数的收敛性时，我们通常需要运用`Sum`函数来进行级数求和，同时采用审敛法来验证级数是否收敛。函数项级数`∑(1/(k*(k+1)))`是一个典型的部分和趋于常数的级数，可以通过化简来证明其收敛性。

参考资源链接：[Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数](https://wenku.csdn.net/doc/urtnmab6gu?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，利用Maple的`Sum`函数可以直接计算级数的部分和，或者使用`sum`命令（注意大小写）来表达级数求和的符号表示。例如：

with(Student[Calculus1]):
Sum(1/(k*(k+1)), k=1..n);

这将给出前n项的和。当n趋向无穷大时，这个和的极限即是级数的和。

其次，为了证明级数`∑(1/(k*(k+1)))`的收敛性，我们可以使用审敛法。一个简单的方法是部分分式分解，即将每一项`1/(k*(k+1))`写成`1/k - 1/(k+1)`。这样，级数就可以表示为一个递减的序列的差值，进而可以证明其收敛性。在Maple中可以这样操作：

sum(1/k-1/(k+1), k=1..n);

当n趋向无穷大时，上述表达式的极限是1，说明级数收敛于1。

最后，Maple还提供了专门用于审敛法的函数，例如`Limit`和`asympt`等，可以用来分析级数项的渐近行为。对于本级数，我们可以使用`limit`函数来验证：

limit(1/(k*(k+1)), k=infinity);

这个极限是0，进一步支持了级数的收敛性。

综合上述步骤，我们可以得出结论，级数`∑(1/(k*(k+1)))`是收敛的，并且其和为1。通过这种方法，Maple帮助我们完成了数值级数和函数项级数的求和以及审敛法的应用。

为了深入学习Maple在求和、审敛以及科学计算方面的更多应用，可以参考《Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数》。该资料详细介绍了Maple在级数求和和审敛分析中的各种技巧和方法，是从事相关工作的专业人士和学习者不可或缺的参考书籍。

参考资源链接：[Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数](https://wenku.csdn.net/doc/urtnmab6gu?spm=1055.2569.3001.10343)