单调队列优化多重背包的原理
时间: 2023-10-26 07:45:46 浏览: 47
单调队列优化多重背包的原理是将多重背包问题转化为单调队列优化的01背包问题,从而减少时间复杂度。
具体做法是先将每种物品拆分成若干个01物品,然后将这些01物品按照单价从高到低排序。接着,用单调队列维护当前容量下的最大价值和最小重量。对于每个01物品,将其加入队列中,并更新队列中的最大价值和最小重量。如果加入当前物品后队列中的最大价值超过背包容量,则弹出队头元素,直到队列中最大价值小于等于背包容量为止。
最后,队列中的最大价值即为多重背包问题的最优解。
这种做法的时间复杂度为O(NV),其中N为物品数,V为背包容量。相比于朴素的多重背包算法,时间复杂度有了很大的优化。
相关问题
单调队列优化多重背包代码
下面是单调队列优化多重背包的代码实现:
```c++
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 10010;
int f[N];
int q[N], v[N], w[N];
int n, m;
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
{
int hh = 0, tt = -1;
for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
{
int t = f[j - k * v[i]] - k * w[i];
while (hh <= tt && q[tt] < t) tt -- ;
q[ ++ tt] = t;
if (hh <= tt) f[j] = max(f[j], q[hh] + k * w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
```
该代码中的单调队列使用了双端队列来实现,队头表示队列中最大的元素,队尾表示队列中最小的元素。当加入一个新的元素时,将队列中所有小于该元素的元素弹出,然后将该元素压入队尾。同时,如果队头元素已经超出了当前的背包容量,需要将队头元素弹出。
在遍历所有物品和背包容量的组合时,每次需要清空队列。对于每个物品,从当前背包容量到该物品体积之间的所有容量,都需要计算出最大的价值。在计算价值时,需要使用单调队列进行优化。
该算法的时间复杂度为 O(N*V),空间复杂度为 O(V),其中 N 表示物品的数量,V 表示背包的容量。
单调队列优化多重背包的代码
以下是单调队列优化多重背包的代码示例:
```cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int n, m;
int w[maxn], v[maxn];
int dp[maxn];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> w[i] >> v[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = w[i]; j <= m; j++) {
deque<int> q;
for (int k = 0; k * w[i] <= j; k++) {
int x = dp[j - k * w[i]] - k * v[i];
while (!q.empty() && x >= q.back()) q.pop_back();
q.push_back(x);
dp[j] = q.front() + k * v[i];
if (k - q.front() >= w[i]) q.pop_front();
}
}
}
cout << dp[m] << endl;
return 0;
}
```
解析:
这个代码是单调队列优化的多重背包的实现代码。首先读入数据,然后对于每个物品,对于每个容量 $j$,我们都要重新开一个单调队列,然后对于每个物品,我们枚举这个物品选了多少个,然后把每个状态都插入到单调队列中,然后取出队头更新答案即可。
这个代码的时间复杂度为 $O(nm\log w)$,其中 $w$ 是物品的数量。因为每个物品最多选 $w$ 个,所以单调队列最多有 $O(w)$ 个元素,所以单次操作的时间复杂度为 $O(\log w)$。总共有 $nm$ 个状态需要更新,所以总时间复杂度为 $O(nm\log w)$。