单调队列优化动态规划

单调队列优化是一种常用的优化技巧，用于加速动态规划的求解过程。它主要应用于一类具有状态转移函数具有单调性的动态规划问题。

在使用动态规划求解问题时，通常会遇到一个状态转移函数，该函数具有单调性。也就是说，如果状态i的最优解比状态j的最优解好，且i在j之前，那么在求解状态j时，状态i不会对结果产生影响。

单调队列优化的核心思想是维护一个递增或递减的队列，用于记录可能成为最优解的状态。在状态转移过程中，我们只需要考虑队列中满足单调性要求的状态。

具体步骤如下：
1. 定义一个队列，用于存储可能成为最优解的状态的索引。
2. 初始化队列为空。
3. 从左到右遍历状态，并依次进行如下操作：
- 如果队列不为空且队首元素已经不在有效范围内（根据题目要求定义），则将队首元素出队。
- 如果队列不为空，则当前状态与队尾元素进行比较，如果当前状态的最优解不如队尾元素的最优解好，则将队尾元素出队，直到队列为空或者当前状态的最优解比队尾元素的最优解好为止。
- 将当前状态的索引入队。
4. 根据题目要求，计算每个状态的最优解。

通过单调队列优化，可以减少状态的遍历次数，从而提高动态规划的效率。但需要注意的是，单调队列优化并不适用于所有的动态规划问题，只适用于具有单调性的状态转移函数。在使用时需要仔细分析问题的性质和要求。

相关问题

动态规划 单调队列优化

引用: 单调栈和单调队列是一种常用的优化思想，可以通过维护一个有序的数据结构，排除不可能的决策，提高算法的效率。其中，单调栈适用于解决求解左边第一个比自己大（小）的点等问题，而单调队列适用于维护左区间最值等问题。通过这两种思想，可以优化动态规划等算法的时间复杂度。

引用: 在求解最大子序和问题时，可以使用单调队列优化。假设当前位置为i，我们可以维护一个单调递减的队列，其中存放的是前i个位置的子序和。每次加入新的元素时，可以通过比较队列中的元素和当前元素的大小，若当前元素更大，则弹出队列中的元素，直到队列为空或者队尾元素大于当前元素。然后将当前元素加入队列。最终，队列中的最大值即为最大子序和。

引用: 单调队列优化动态规划是通过将可转移状态存入一个单调队列中，来进行状态转移的一种方法。这个可转移状态要满足连续且单调的特性。具体原理是，如果一个选手比你小，但是比你强，那么你就可以退役了。在动态规划中，可以先使用朴素的dp方法找到一种方法，再根据单调队列优化。

例题1：求左边第1个比自己大的点
问题分析：将可转移给第i个点的对象存入栈中。假设i可以从j,k转移而来，其中j < k。栈中的元素是一个单调递减的栈。每次加入第i个点，都会依次将比ai小的弹出，最后栈顶元素即为答案。

例题2：维护左区间最值
问题分析：通过维护一个单调递减的队列，存储左区间的最值。在每次更新元素时，比较队列中的元素和当前元素的大小，若当前元素更大，则弹出队列中的元素，直到队列为空或者队尾元素大于当前元素。然后将当前元素加入队列。

用单调队列优化多重背包

多重背包问题是指有 $n$ 种物品，每种物品有 $m_i$ 个，每个物品的重量为 $w_i$，价值为 $v_i$，一共有 $W$ 的背包容量，求在背包容量限制下能获得的最大价值。

一般来说，多重背包问题可以使用动态规划来解决。但是，使用动态规划的时间复杂度是 $O(nW\sum_{i=1}^{n}m_i)$，其中 $\sum_{i=1}^{n}m_i$ 表示物品的总数，这样的时间复杂度是非常高的。因此，我们需要使用其他的算法来优化多重背包问题。

单调队列可以优化多重背包问题。具体来说，我们将多重背包问题转化为单调队列问题，然后使用单调队列来解决问题。

我们定义一个单调队列 $q$，其中每个元素是一个二元组 $(j, f_j)$，表示前 $j$ 种物品的最大价值为 $f_j$。我们维护一个单调递减的队列，即 $q$ 中的元素是按照 $f_j$ 从大到小排序的。

对于第 $i$ 种物品，我们将其转化为 $m_i$ 个物品，每个物品的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$。然后，我们遍历单调队列 $q$，对于每个元素 $(j, f_j)$，我们将 $j+m_i$ 的元素加入队列中，即 $(j+m_i, f_j+v_i)$。然后，我们从队列的末尾开始，将队列中的元素按照 $f_j$ 从大到小排序，直到队列中的元素个数小于等于 $W$。

最后，队列中的最大价值就是多重背包问题的解。

使用单调队列优化多重背包问题的时间复杂度是 $O(nW)$，比动态规划要快很多。