传染病SIS模型公式推导

SIS模型是一种用于描述传染病传播的数学模型，它假设人群中的每个个体只有两种状态：易感染状态（S状态）和感染状态（I状态）。在SIS模型中，一个人可以从易感染状态转变为感染状态，也可以从感染状态转变为易感染状态，即感染状态不会带来免疫力。

SIS模型可以用如下的微分方程来描述：

$$
\begin{aligned}
\frac{dS}{dt} &= -\beta SI + \gamma I \\
\frac{dI}{dt} &= \beta SI - \gamma I
\end{aligned}
$$

其中，$S$表示易感染个体的数量，$I$表示感染个体的数量，$\beta$表示每个感染者每单位时间内传染给易感染者的概率，$\gamma$表示每个感染者每单位时间内从感染状态变为易感染状态的概率。

第一个微分方程表示易感染者的数量变化率，它由两部分组成：第一部分是易感染者被感染者传染的数量减少，即$-\beta SI$；第二部分是感染者变为易感染者的数量增加，即$\gamma I$。

第二个微分方程表示感染者的数量变化率，它由两部分组成：第一部分是易感染者被感染者传染的数量增加，即$\beta SI$；第二部分是感染者变为易感染者的数量减少，即$-\gamma I$。

SIS模型的稳态分布可以通过以下方程组求解：

$$
\begin{aligned}
0 &= -\beta SI + \gamma I \\
0 &= \beta SI - \gamma I
\end{aligned}
$$

解得：

$$
\begin{aligned}
S &= \frac{\gamma}{\beta} \\
I &= N - \frac{\gamma}{\beta}
\end{aligned}
$$

其中，$N$表示总人口数。这个稳态分布表示，在长期内，易感染者和感染者的数量将保持在一个稳定的水平。