X1 = [0.05, 0.1, 0.2, 0.4]; Y1 = [0, 0.5448, 0.9541, 1];已知x，y两组数据，用极大似然估计求拟合对数正太分布曲线

假设数据服从对数正态分布，则其概率密度函数为：

$$
f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

其中，$\mu$ 和 $\sigma$ 分别是对数正态分布的均值和标准差。

我们可以使用最大似然估计来估计 $\mu$ 和 $\sigma$ 的值。对于给定的 $n$ 个观测值 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，其似然函数为：

$$
L(\mu,\sigma) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\mu,\sigma) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

为了方便计算，我们通常取对数似然函数：

$$
\ln L(\mu,\sigma) = -n\ln\sigma - \frac{n}{2}\ln(2\pi) - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(\ln x_i - \mu)^2
$$

对 $\mu$ 和 $\sigma$ 分别求偏导数并令其等于0，得到如下方程组：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial \mu} \ln L(\mu,\sigma) &= \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(\ln x_i - \mu) = 0 \\
\frac{\partial}{\partial \sigma} \ln L(\mu,\sigma) &= -\frac{n}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^3}\sum_{i=1}^{n}(\ln x_i - \mu)^2 = 0
\end{aligned}
$$

解这个方程组得到：

$$
\begin{aligned}
\hat{\mu} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln x_i \\
\hat{\sigma} &= \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\ln x_i - \hat{\mu})^2}
\end{aligned}
$$

这样，我们就可以使用极大似然估计来拟合对数正态分布曲线了。具体步骤如下：

1. 准备数据。读入数据并将其存储在两个向量中，一个存储自变量，另一个存储因变量。

2. 求解 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$。根据上述公式求解出 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$ 的值。

3. 绘制拟合曲线。使用上述公式求解得到的 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$ 值绘制对数正态分布曲线，可以使用以下代码实现：

% 计算 mu 和 sigma 的估计值
mu_hat = mean(log(X1));
sigma_hat = sqrt(mean((log(X1) - mu_hat).^2));

% 绘制对数正态分布曲线
x = linspace(min(X1), max(X1), 100);
y = lognpdf(x, mu_hat, sigma_hat);
plot(X1, Y1, 'o', x, y, '-');

其中，`lognpdf` 是 Matlab 中用于计算对数正态分布概率密度函数的函数，`x` 是自变量向量，`y` 是对应的因变量向量，`mu_hat` 和 `sigma_hat` 是计算得到的 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$ 值，`plot` 函数用于绘制散点图和拟合曲线。

以上就是使用极大似然估计求解对数正态分布曲线拟合的基本步骤。