若 γ为线性变换，且对任意的α∈V,(C,U), 都有||γ(α)||=||α||.试证明γ为V (C,U)上的酉变换

根据引用[1]中的定义，线性变换 O: V → V 满足 O(x) = θ，其中 θ 是零向量。而引用中提到，任意的向量 η ∈ V 都可以用 α1, α2, ..., αn 的线性组合表示。现在我们来证明 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。

假设 γ 是线性变换，且对于任意的 α ∈ V (C,U)，都有 ||γ(α)|| = ||α||。

首先，我们证明 γ 是一个单位变换，即 γ(α) = α。

根据引用中的定义，任意的向量 η ∈ V 都可以用 α1, α2, ..., αn 的线性组合表示。那么对于任意的 α ∈ V (C,U)，我们有：

α = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn

其中 v1, v2, ..., vn 是 V (C,U) 的一组基向量。

由于 γ 是线性变换，我们有：

γ(α) = γ(α1v1 + α2v2 + ... + αnvn)

根据线性变换的性质，我们可以将 γ 移到每个向量上：

γ(α) = α1γ(v1) + α2γ(v2) + ... + αnγ(vn)

由于 γ(α) = α，我们可以得到：

α = α1γ(v1) + α2γ(v2) + ... + αnγ(vn)

根据向量的线性组合的唯一性，我们可以得到：

γ(v1) = v1
γ(v2) = v2
...
γ(vn) = vn

因此，我们证明了 γ 是一个单位变换。

接下来，我们证明 γ 是一个酉变换，即 γ 是一个保持内积不变的变换。

对于任意的 α, β ∈ V (C,U)，我们有：

⟨γ(α), γ(β)⟩ = ⟨α, β⟩

根据内积的定义，我们可以展开上述等式：

⟨γ(α), γ(β)⟩ = (γ(α))∗ · γ(β)

其中 (γ(α))∗ 表示 γ(α) 的共轭转置。

根据前面证明的 γ 是一个单位变换，我们有 γ(α) = α，因此上述等式可以简化为：

⟨α, γ(β)⟩ = α∗ · γ(β)

根据内积的定义，我们可以得到：

α∗ · γ(β) = α∗ · β

由于对于任意的 α ∈ V (C,U)，都有 ||γ(α)|| = ||α||，我们可以得到：

||γ(α)||^2 = ||α||^2

根据向量的模的定义，我们可以展开上述等式：

(γ(α))∗ · γ(α) = α∗ · α

根据前面证明的 γ 是一个单位变换，我们有 γ(α) = α，因此上述等式可以简化为：

α∗ · α = α∗ · α

因此，我们证明了 γ 是一个酉变换。

综上所述，我们证明了若 γ 为线性变换，且对任意的 α ∈ V (C,U)，都有 ||γ(α)|| = ||α||，则 γ 是 V (C,U) 上的酉变换。