正态分布 对数似然函数

好的，您的问题是：正态分布的对数似然函数是什么？

对于一个正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度函数为：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$

那么，样本 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的似然函数为：

$$
L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$

对数似然函数为：

$$
\begin{aligned}
\log L(\mu, \sigma^2) &= \sum_{i=1}^{n} \log f(x_i) \\
&= -\frac{n}{2}\log(2\pi) - n\log\sigma - \sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}
\end{aligned}
$$

相关问题

正态分布 对数似然函数怎么求

对于正态分布，其概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中，$\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。

对数似然函数为：
$$
\begin{aligned}
L(\mu,\sigma|x_1,x_2,...,x_n) &= \ln \prod_{i=1}^{n} f(x_i) \\
&= \ln \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\
&= \ln (\frac{1}{(\sqrt{2\pi}\sigma)^n} e^{-\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}) \\
&= -\frac{n}{2}\ln(2\pi)-n\ln(\sigma)-\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}
\end{aligned}
$$

多元正态分布的似然函数

多元正态分布的似然函数可以通过对数据样本的概率密度函数进行计算得到。假设我们有一个多元正态分布，其概率密度函数为：

p(X|μ, Σ) = (2π)^(-k/2) * |Σ|^(-1/2) * exp(-0.5 * (X - μ)' * Σ^(-1) * (X - μ))

其中，X 是数据样本，μ 是均值向量，Σ 是协方差矩阵，k 是数据样本的维度。

假设我们有 n 个独立同分布的数据样本 {X₁, X₂, ..., Xₙ}，那么似然函数可以表示为这些数据样本的概率密度函数的乘积：

L(μ, Σ|X₁, X₂, ..., Xₙ) = ∏[p(Xᵢ|μ, Σ)]

我们可以将每个数据样本的概率密度函数代入似然函数中，并将其取对数，得到对数似然函数：

log L(μ, Σ|X₁, X₂, ..., Xₙ) = ∑[log p(Xᵢ|μ, Σ)]

对数似然函数可以用于最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE），即通过找到使对数似然函数最大化的参数值来估计多元正态分布的参数。

需要注意的是，在实际计算中，为了避免数值计算上的困难，通常会使用对数似然函数的负数作为损失函数，并使用数值优化算法来最小化损失函数，以求得参数的估计值。