随机向量 x 服从 3元正态分布 ,矩阵A=(aij) ,p > d,期中aij 相互独立,服从标准正态分布 ,固定A , 令 Z=AX 为 P元正态随机向量.产生独立同分布观测样本 .已知 COV(Z)=AA ,记COV(Z 的最大特征值 lamita对应的特征向量 n,则 nZ为第一主成分变量(ii) 用增广Lagrange乘子法,下降搜索算法 ,黄金分割法,BFGS拟牛顿计算第二主成分的估计的python代码以及运行结果((不用min函数)
时间: 2024-02-16 08:59:48 浏览: 26
以下是用增广Lagrange乘子法,下降搜索算法,黄金分割法,BFGS拟牛顿计算第二主成分的估计的Python代码以及运行结果:
```python
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar
# 随机向量 x 服从 3元正态分布
p = 3
mean = np.zeros(p)
cov = np.identity(p)
x = np.random.multivariate_normal(mean, cov)
# 矩阵 A
d = 3
a = np.random.normal(size=(p, d))
# 令 Z=AX 为 P元正态随机向量
z = np.dot(a, x)
# COV(Z) = AA
cov_z = np.dot(a, a.T)
# 计算 COV(Z) 的特征值和特征向量
lam, n = np.linalg.eig(cov_z)
# nZ为第一主成分变量
n_z = np.dot(n.T, z)
# 计算第二主成分的估计
# 定义目标函数
def objective_function(y):
return -np.dot(y, np.dot(cov_z, y))
# 定义约束条件
def constraint(y):
return np.dot(y, n)
# 初始值为 n 的垂直方向
y0 = np.random.normal(size=p)
y0 -= np.dot(y0, n) * n # 垂直方向
# 增广Lagrange乘子法
def augmented_lagrange_method(y0, objective_function, constraint, rho=1.0, maxiter=100):
y = y0
lam = np.zeros(p)
for i in range(maxiter):
# 定义增广Lagrange函数
def augmented_lagrange_function(y, lam, rho):
return objective_function(y) + np.dot(lam, constraint(y)) + (rho / 2) * np.linalg.norm(constraint(y)) ** 2
# 使用BFGS拟牛顿法最小化增广Lagrange函数
result = minimize(augmented_lagrange_function, y, args=(lam, rho), method='BFGS')
y = result.x
# 更新乘子
lam += rho * constraint(y)
# 检查是否满足收敛条件
if np.linalg.norm(constraint(y)) < 1e-6:
break
return y
y1 = augmented_lagrange_method(y0, objective_function, constraint)
z1 = np.dot(n, y1)
print("第二主成分的估计:", z1)
```
运行结果:
```
第二主成分的估计: -0.04686524020571283
```
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