17.三对角矩阵A[n][n]，压缩存储到一维数组SA[M]中，则M= ，矩阵中元素aij在3条对角线的条件是 ，其对应在一维数组SA中的下标k= 。

对于一个$n\times n$的三对角矩阵，只有主对角线、上对角线和下对角线上的元素不为0，且只有相邻的三条对角线上的元素不为0。

因此，我们可以将三对角矩阵压缩成一个长度为$3n-2$的一维数组。具体地，将主对角线上的元素依次存储在SA[1]到SA[n]中，将上对角线上的元素依次存储在SA[n+1]到SA[2n-1]中，将下对角线上的元素依次存储在SA[2n]到SA[3n-3]中。此时，SA数组的下标范围为1到$3n-2$，共有$3n-2$个元素。

对于矩阵中的元素$a_{i,j}$，如果其位于三条对角线上，则有以下条件：

- $i=j$，即$a_{i,j}$在主对角线上，对应的下标为$k=i$；
- $i=j-1$，即$a_{i,j}$在上对角线上，对应的下标为$k=n+i$；
- $i=j+1$，即$a_{i,j}$在下对角线上，对应的下标为$k=2n+i-1$。

因此，对于任意的$i$和$j$，其对应在一维数组SA中的下标$k$可以通过以下公式计算：

$$
k=\begin{cases}
i, & j=i \\
n+i, & j=i-1 \\
2n+i-1, & j=i+1
\end{cases}
$$

因此，$M=3n-2$，元素$a_{i,j}$在三条对角线上的条件是$i=j$或$i=j-1$或$i=j+1$，其对应在一维数组SA中的下标$k$可以通过上述公式计算。

相关问题

将 10 阶对称矩阵压缩存储到一维数组 A 中，则数组 A 的长度最少为

一个 $n$ 阶对称矩阵中，对角线元素有 $n$ 个，上三角（不含对角线）的元素有 $n(n-1)/2$ 个，因为对称矩阵的对角线以下的元素和对角线以上的元素是相同的，所以只需要存储其中一部分。

因此，一个 $n$ 阶对称矩阵的元素总数为 $n+n(n-1)/2=(n^2+n)/2$。

而对称矩阵的一维数组压缩存储只需要存储对称矩阵的下三角（不含对角线）的元素，数量为 $n(n-1)/2$ 个，因此数组 A 的长度最少为 $(n^2+n)/2-(n(n-1)/2)=n(n+1)/2$。

因此，将 10 阶对称矩阵压缩存储到一维数组 A 中，数组 A 的长度最少为 $10 \times (10+1)/2 = 55$。

将10阶对称矩阵压缩存储到一维数组A中，则数组A的长度最少为

一个10阶对称矩阵有 $10 \times 10 = 100$ 个元素，但由于对称性，我们只需要存储上三角或下三角的元素，也就是 $10 + 9 + 8 + \cdots + 1 = \frac{10\times 11}{2} = 55$ 个元素即可。而这些元素对应的一维数组A中的长度也必须不小于55。因此，数组A的长度最少为55。