矩阵乘转置后是对称的吗
时间: 2023-05-28 07:07:20 浏览: 1183
是的,矩阵乘转置后一定是对称的。
设矩阵A为m×n矩阵,则其转置矩阵为AT为n×m矩阵。
矩阵A乘以其转置矩阵为AT的结果为AAT,其维度为m×m。
矩阵AAT中元素a(i,j)为矩阵A的第i行与矩阵AT的第j列的乘积之和,即
a(i,j) = ∑(A(i,k)*AT(k,j)),其中k从1到n。
而矩阵AT的第j行为矩阵A的第j列,因此
a(i,j) = ∑(A(i,k)*A(j,k)),其中k从1到n。
由于矩阵乘法是满足结合律的,因此a(i,j) = a(j,i),即矩阵AAT是对称矩阵。
相关问题
矩阵乘自身的转置一定是正定矩阵吗
是的。矩阵乘自身的转置得到的矩阵通常被称为Gram矩阵,它是对称的、半正定的。对于任意非零向量x,有x^T(AA^T)x = (A^Tx)^T(A^Tx) = ||A^Tx||^2 >= 0,因此Gram矩阵是正定的。
一个矩阵与他的转置矩阵相乘的结果是对称矩阵吗
是的,一个矩阵与它的转置矩阵相乘的结果一定是对称矩阵。这是因为对于任何矩阵A,其转置矩阵为A的行列互换,即$A^T_{i,j} = A_{j,i}$。因此,当我们计算$AA^T$时,结果矩阵的第i行第j列的元素为$AA^T_{i,j} = \sum_k A_{i,k}A^T_{k,j} = \sum_k A_{i,k}A_{j,k}$。由此可见,$AA^T$的第i行第j列的元素只与原始矩阵A的第i行和第j行有关,而与其他行无关。因此,$AA^T$是一个对称矩阵。