设矩阵B等于矩阵A的转置右乘矩阵A那么B矩阵的秩和A矩阵的秩是相等的吗
时间: 2023-12-01 16:04:40 浏览: 45
设 $B=A^TA$,则 $B$ 是一个对称矩阵,且 $B$ 的元素为实数。由于 $B$ 是一个对称矩阵,因此它的秩等于它的非零特征值的个数。同时,$B$ 的特征值为非负实数,因为 $B$ 是由 $A$ 转置右乘 $A$ 得到的。
接下来考虑 $B$ 的特征值。设 $\lambda$ 是 $B$ 的一个特征值,$x$ 是对应的特征向量,那么有:
$$
Bx = \lambda x \\
x^TBx = \lambda x^Tx \\
x^TA^TAx = \lambda x^Tx \\
(Ax)^T(Ax) = \lambda x^Tx
$$
由此可见,$\lambda$ 是 $A$ 的列向量 $Ax$ 的长度的平方。因此,$B$ 的所有特征值都是非负数,且每个特征值的几何重数等于它的代数重数。又因为 $B$ 的秩等于它的非零特征值的个数,因此 $B$ 的秩等于 $A$ 的列向量个数的秩,即 $\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A)$。
综上,当矩阵 $B$ 等于矩阵 $A$ 的转置右乘矩阵 $A$ 时,$B$ 的秩和 $A$ 的秩相等。
相关问题
设矩阵B等于矩阵A的转置左侧矩阵A那么B矩阵的秩和A矩阵的秩是相等的吗
假设A是一个$m \times n$的矩阵,则B是一个$n \times m$的矩阵。
矩阵$B= A^T A$,因此B的列空间是由矩阵A的列向量生成的,而A的秩等于其列空间的维数。
根据矩阵乘法的性质,$rank(B) \leq min(rank(A^T), rank(A))$。但是,由于$B= A^T A$,因此$rank(B) \leq rank(A)$。
另一方面,由于$B= A^T A$,因此$rank(B) = rank(A^T A) = rank(A)$。
综上所述,B矩阵的秩和A矩阵的秩相等。
如果a矩阵的行和b矩阵的列相等则不转置,否则转置python代码
以下是根据您的要求编写的Python代码:
```python
if a.shape[1] == b.shape[0]:
c = a.dot(b)
else:
c = a.T.dot(b)
```
这段代码首先判断矩阵a的列数是否等于矩阵b的行数,如果相等,则直接进行矩阵乘法运算;如果不相等,则先将矩阵a进行转置,再进行矩阵乘法运算。最后将结果保存在矩阵c中。