设矩阵B等于矩阵A的转置右乘矩阵A那么B矩阵的秩和A矩阵的秩是相等的吗

设 $B=A^TA$，则 $B$ 是一个对称矩阵，且 $B$ 的元素为实数。由于 $B$ 是一个对称矩阵，因此它的秩等于它的非零特征值的个数。同时，$B$ 的特征值为非负实数，因为 $B$ 是由 $A$ 转置右乘 $A$ 得到的。

接下来考虑 $B$ 的特征值。设 $\lambda$ 是 $B$ 的一个特征值，$x$ 是对应的特征向量，那么有：

$$
Bx = \lambda x \\
x^TBx = \lambda x^Tx \\
x^TA^TAx = \lambda x^Tx \\
(Ax)^T(Ax) = \lambda x^Tx
$$

由此可见，$\lambda$ 是 $A$ 的列向量 $Ax$ 的长度的平方。因此，$B$ 的所有特征值都是非负数，且每个特征值的几何重数等于它的代数重数。又因为 $B$ 的秩等于它的非零特征值的个数，因此 $B$ 的秩等于 $A$ 的列向量个数的秩，即 $\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A)$。

综上，当矩阵 $B$ 等于矩阵 $A$ 的转置右乘矩阵 $A$ 时，$B$ 的秩和 $A$ 的秩相等。