设矩阵A(上面是3和k下面是1和5)只有一个线性无关的特征向量,则绝对值|k|=
时间: 2024-04-03 14:30:33 浏览: 17
首先,由于矩阵 $A$ 只有一个线性无关的特征向量,因此矩阵 $A$ 的特征值只有一个。设该特征值为 $\lambda$。
其次,根据矩阵的性质,矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值相等。因此,矩阵 $A$ 的特征值也等于它的转置矩阵 $A^T$ 的特征值。
由于 $A$ 是一个 $2\times 2$ 的矩阵,因此 $A$ 的特征值可以通过求解矩阵 $A$ 的特征方程来得到。特征方程为:
$$\begin{vmatrix} 3-\lambda & k \\ 1 & 5-\lambda \end{vmatrix}=(3-\lambda)(5-\lambda)-k=\lambda^2-8\lambda+15-k=0$$
由于矩阵 $A$ 只有一个特征值,因此该特征值的代数重数和几何重数相等,即该特征值对应的特征向量个数为 $1$。
特征值为 $\lambda$ 时,线性方程组 $(A-\lambda I)x=0$ 的解空间的维数等于矩阵 $A-\lambda I$ 的秩 $r(A-\lambda I)$,即:
$$r(A-\lambda I)=\begin{pmatrix} 3-\lambda & k \\ 1 & 5-\lambda \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 3-\lambda & k \\ 0 & 5-\lambda-\frac{k(3-\lambda)}{k} \end{pmatrix}$$
由于该矩阵只有一个线性无关的特征向量,因此该方程组的解空间的维数为 $1$,即 $r(A-\lambda I)=1$。
因此,根据矩阵的秩-零度定理,矩阵 $A-\lambda I$ 的零度为 $2-1=1$,即 $A-\lambda I$ 的行向量组成的向量组线性相关。
代入 $\lambda=4$,得到:
$$\begin{pmatrix} -1 & k \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & k+1 \end{pmatrix}$$
由于 $A-\lambda I$ 的行向量组成的向量组线性相关,因此 $A-\lambda I$ 的行列式为 $0$,即 $(3-\lambda)(5-\lambda)-k=0$。
代入 $\lambda=4$,得到:$k=2$。
因此,$|k|=2$。