矩阵本身乘以矩阵的转置

矩阵本身乘以矩阵的转置是一个方阵，其元素为矩阵每行与每行的内积。具体地，设矩阵A为m行n列，其转置矩阵为AT，则矩阵A乘以矩阵的转置为：

AAT = [a1·a1, a1·a2, ..., a1·am
a2·a1, a2·a2, ..., a2·am
...
am·a1, am·a2, ..., am·am]

其中ai为矩阵A的第i行，·表示向量内积。

需要注意的是，矩阵A乘以矩阵的转置只有当矩阵A的行数和列数相等时才能进行运算。

相关问题

矩阵转置 乘以 矩阵自身 意义

矩阵转置乘以矩阵自身，即 $(A^T)A$，也称作Gram矩阵。它的意义在线性代数与机器学习中都非常重要。

在线性代数中，Gram矩阵可以用来计算向量组的内积和范数。对于向量组 $v_1, v_2, ..., v_n$，其Gram矩阵 $G$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $G_{i,j} = v_i^T v_j$。可以证明，向量组的范数平方等于其Gram矩阵的行列式值。特别地，当向量组线性无关时，其Gram矩阵的行列式值为正，向量组的范数为正。

在机器学习中，Gram矩阵可以用来计算样本之间的相似度，进而用于各种分类、聚类、降维等任务。例如，在支持向量机（SVM）中，分类器的决策边界只依赖于支持向量的内积，可以通过Gram矩阵来计算。

总之，矩阵转置乘以矩阵自身在数学与机器学习中都有广泛应用。

矩阵转置 乘以 矩阵自身 几何解释

矩阵转置乘以矩阵自身可以写成$A^T A$的形式，其中$A$为一个矩阵。几何解释可以从两个角度来看：

1. 投影角度：将矩阵$A$中的向量投影到自身的列空间，然后再将这些投影向量进行内积，得到的结果就是$A^T A$。这个结果可以解释为在列空间中的向量的长度，因为内积的结果是两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的长度，而同一个向量在自身的列空间中的投影长度等于其长度。

2. 旋转角度：将矩阵$A$中的向量旋转到与自身的行空间相同的方向上，然后再将这些旋转后的向量进行内积，得到的结果同样是$A^T A$。这个结果可以解释为旋转后的向量的长度，因为同一个向量在不同的坐标系中的长度是相同的，而旋转只是改变了坐标系。

因此，矩阵转置乘以矩阵自身的结果可以理解为在列空间或行空间中向量的长度或旋转后的向量的长度。