矩阵的转置乘以矩阵然后求导
时间: 2023-11-22 07:46:20 浏览: 74
矩阵的转置乘以矩阵然后求导是矩阵计算中的一种常见操作,通常用于线性回归等问题中。具体来说,如果有一个矩阵X和一个向量y,我们可以通过求解(X^T*X)^(-1)*X^T*y来得到最小二乘解。其中,X^T表示X的转置矩阵,^(-1)表示矩阵的逆运算。在求导时,我们可以将矩阵X看作是自变量,向量y看作是因变量,然后对(X^T*X)^(-1)*X^T*y进行求导,得到的结果就是我们需要的梯度。
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矩阵乘以矩阵的转置求导
设 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵,$B$ 是 $p \times n$ 的矩阵,则 $C=AB^T$ 是 $m \times p$ 的矩阵。我们需要求 $\frac{\partial C}{\partial A}$。
首先,我们将 $C$ 的每个元素表示出来:
$$
C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{jk}
$$
然后,我们对 $C_{ij}$ 求 $\frac{\partial C_{ij}}{\partial A_{pq}}$:
$$
\frac{\partial C_{ij}}{\partial A_{pq}} = \frac{\partial}{\partial A_{pq}} \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{jk} = B_{jq}\delta_{ip}
$$
其中,$\delta_{ip}$ 是克罗内克(Kronecker)符号,当 $i=p$ 时为 1,否则为 0。
因此,我们可以得到:
$$
\frac{\partial C}{\partial A} = \begin{bmatrix}
\frac{\partial C}{\partial A_{11}} & \frac{\partial C}{\partial A_{12}} & \cdots & \frac{\partial C}{\partial A_{1n}} \\
\frac{\partial C}{\partial A_{21}} & \frac{\partial C}{\partial A_{22}} & \cdots & \frac{\partial C}{\partial A_{2n}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial C}{\partial A_{m1}} & \frac{\partial C}{\partial A_{m2}} & \cdots & \frac{\partial C}{\partial A_{mn}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
B_{11} & B_{21} & \cdots & B_{p1} \\
B_{12} & B_{22} & \cdots & B_{p2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{1n} & B_{2n} & \cdots & B_{pn}
\end{bmatrix}
$$
因此,矩阵乘以矩阵的转置的导数是 $B$。
矩阵转置 乘以 矩阵自身 意义
矩阵转置乘以矩阵自身,即 $(A^T)A$,也称作Gram矩阵。它的意义在线性代数与机器学习中都非常重要。
在线性代数中,Gram矩阵可以用来计算向量组的内积和范数。对于向量组 $v_1, v_2, ..., v_n$,其Gram矩阵 $G$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $G_{i,j} = v_i^T v_j$。可以证明,向量组的范数平方等于其Gram矩阵的行列式值。特别地,当向量组线性无关时,其Gram矩阵的行列式值为正,向量组的范数为正。
在机器学习中,Gram矩阵可以用来计算样本之间的相似度,进而用于各种分类、聚类、降维等任务。例如,在支持向量机(SVM)中,分类器的决策边界只依赖于支持向量的内积,可以通过Gram矩阵来计算。
总之,矩阵转置乘以矩阵自身在数学与机器学习中都有广泛应用。