计算矩阵A乘以A的转置的逆矩阵

设矩阵A为n行n列的矩阵，则矩阵A乘以A的转置得到的矩阵B为n行n列的对称矩阵。

对于任意的n行n列的对称矩阵B，如果B可逆，则B的逆矩阵C也是一个对称矩阵。

因此，要计算矩阵A乘以A的转置的逆矩阵C，可以先求出矩阵B=A乘以A的转置，然后计算矩阵B的逆矩阵C，最后得到矩阵C即可。

求矩阵B：
B = A x A^T

求矩阵B的逆矩阵C：
C = B^(-1)

可以使用矩阵的分块求解法：

B = A x A^T
= [ A_1 ]
[ A_2 ] x [ A_1^T A_2^T ]
[ ]
[ A_1^T A_2^T ]

其中A_1是n*k的矩阵，A_2是n*(n-k)的矩阵，k是一个小于等于n的正整数。

则对于B的分块矩阵，有以下公式：

B = A_1 x A_1^T + A_2 x A_2^T

B的逆矩阵C也可以分块求解：

[C_11 C_12] [ A_1^(-1) 0 ]
[C_21 C_22] = [ -A_2^T A_1^(-1) A_2^(-1) ]

其中C_11是k*k的矩阵，C_12是k*(n-k)的矩阵，C_21是(n-k)*k的矩阵，C_22是(n-k)*(n-k)的矩阵。

则对于C的分块矩阵，有以下公式：

C_11 = A_1^(-1) x (I_k - A_2^T x A_1^(-1) x A_2)^(-1)
C_12 = -A_1^(-1) x A_2^T x (I_{n-k} - A_1 x A_1^(-1) x A_2^T)^(-1)
C_21 = -A_2^(-1) x A_1^T x (I_k - A_2 x A_2^(-1) x A_1^T)^(-1)
C_22 = (I_{n-k} - A_2 x A_2^(-1) x A_1^T)^(1- A_2^(-1) x A_1^T x (I_k - A_2 x A_2^(-1) x A_1^T)^(-1) x A_2 x A_2^(-1))

其中I_k是k*k的单位矩阵，I_{n-k}是(n-k)*(n-k)的单位矩阵。

最终，将C_11、C_12、C_21、C_22四个分块矩阵合并，即可得到矩阵C。