矩阵乘以矩阵的转置求导

设 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，$B$ 是 $p \times n$ 的矩阵，则 $C=AB^T$ 是 $m \times p$ 的矩阵。我们需要求 $\frac{\partial C}{\partial A}$。

首先，我们将 $C$ 的每个元素表示出来：

$$
C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{jk}
$$

然后，我们对 $C_{ij}$ 求 $\frac{\partial C_{ij}}{\partial A_{pq}}$：

$$
\frac{\partial C_{ij}}{\partial A_{pq}} = \frac{\partial}{\partial A_{pq}} \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{jk} = B_{jq}\delta_{ip}
$$

其中，$\delta_{ip}$ 是克罗内克（Kronecker）符号，当 $i=p$ 时为 1，否则为 0。

因此，我们可以得到：

$$
\frac{\partial C}{\partial A} = \begin{bmatrix}
\frac{\partial C}{\partial A_{11}} & \frac{\partial C}{\partial A_{12}} & \cdots & \frac{\partial C}{\partial A_{1n}} \\
\frac{\partial C}{\partial A_{21}} & \frac{\partial C}{\partial A_{22}} & \cdots & \frac{\partial C}{\partial A_{2n}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial C}{\partial A_{m1}} & \frac{\partial C}{\partial A_{m2}} & \cdots & \frac{\partial C}{\partial A_{mn}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
B_{11} & B_{21} & \cdots & B_{p1} \\
B_{12} & B_{22} & \cdots & B_{p2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{1n} & B_{2n} & \cdots & B_{pn}
\end{bmatrix}
$$

因此，矩阵乘以矩阵的转置的导数是 $B$。