矩阵转置 乘以 矩阵自身 几何解释

矩阵转置乘以矩阵自身可以写成$A^T A$的形式，其中$A$为一个矩阵。几何解释可以从两个角度来看：

1. 投影角度：将矩阵$A$中的向量投影到自身的列空间，然后再将这些投影向量进行内积，得到的结果就是$A^T A$。这个结果可以解释为在列空间中的向量的长度，因为内积的结果是两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的长度，而同一个向量在自身的列空间中的投影长度等于其长度。

2. 旋转角度：将矩阵$A$中的向量旋转到与自身的行空间相同的方向上，然后再将这些旋转后的向量进行内积，得到的结果同样是$A^T A$。这个结果可以解释为旋转后的向量的长度，因为同一个向量在不同的坐标系中的长度是相同的，而旋转只是改变了坐标系。

因此，矩阵转置乘以矩阵自身的结果可以理解为在列空间或行空间中向量的长度或旋转后的向量的长度。