矩阵乘他的转置得到什么

矩阵乘以它的转置可以写成 $A A^T$ 的形式，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵。$A A^T$ 是一个 $m \times m$ 的矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $a_i a_j^T$ 的迹（trace）。

如果 $A$ 是一个实数矩阵，则 $A A^T$ 是一个半正定矩阵（positive semidefinite matrix）。如果 $A$ 是一个复数矩阵，则 $A A^T$ 是一个半正定的埃尔米特矩阵（Hermitian positive semidefinite matrix）。这些性质在实际应用中有很多重要的应用，例如在统计学中的主成分分析（PCA）方法中就广泛使用了矩阵乘以它的转置。

相关问题

对角矩阵的逆乘置换矩阵的转置再乘原矩阵等于什么

对角矩阵的逆乘置换矩阵的转置再乘原矩阵等于原矩阵本身。

对角矩阵是指只有主对角线上有非零元素，其他位置都为零的矩阵。假设我们有一个n×n的对角矩阵D，其中d1, d2, ..., dn是对角线上的元素。那么它的逆矩阵D^-1也是一个对角矩阵，其对角线上的元素为d1^-1, d2^-1, ..., dn^-1。

置换矩阵是指将矩阵的行或列进行重新排列的矩阵。假设我们有一个n×n的置换矩阵P，它的转置矩阵P^T就是将P的行和列进行互换得到的矩阵。

当我们将对角矩阵D的逆矩阵D^-1与置换矩阵P的转置矩阵P^T相乘，并再乘以原矩阵A时，得到的结果为D^-1 * P^T * A = A。

这是因为对角矩阵的逆矩阵与置换矩阵的转置矩阵相乘后仍然是对角矩阵，而对角矩阵与任意矩阵相乘时，只会改变矩阵的对角线上的元素，其他位置的元素仍然保持为零。因此，最终的结果就是原矩阵A本身。

矩阵C的转置乘矩阵L乘矩阵C和矩阵L的特征值一样吗

是的，矩阵C的转置乘矩阵L乘以矩阵C与矩阵L具有相同的特征值。这可以通过以下方式证明：

假设λ是矩阵L的一个特征值，v是对应于λ的特征向量。那么根据特征值和特征向量的定义，我们有：

L * v = λ * v

我们可以对上述等式两边同时左乘矩阵C的转置和右乘矩阵C，得到：

C^T * L * C * C^T * v = λ * C^T * C * v

由于矩阵C和它的转置C^T相乘得到的是一个对称矩阵，我们可以将其记为S，即：

S = C^T * C

那么上述等式可以简化为：

S * L * S * v = λ * S * v

这意味着S * L * S具有相同的特征值λ，而对应的特征向量是C * v。

因此，矩阵C的转置乘矩阵L乘以矩阵C和矩阵L具有相同的特征值。这个结论在一些应用中非常有用，例如在谱聚类和特征分解等领域。