有没有一种方法从矩阵A的转置乘B矩阵乘A矩阵中提出B矩阵

有一种方法可以从矩阵 $A$ 的转置乘 $B$ 矩阵乘 $A$ 矩阵中提取出 $B$ 矩阵，它是利用矩阵的性质以及矩阵分块技巧，具体步骤如下：

1. 首先，我们可以将矩阵 $A$ 的转置和 $A$ 矩阵各自分成 $n$ 个小块，表示为：

$A^T=\begin{bmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T & \cdots & A_{n1}^T \\ A_{12}^T & A_{22}^T & \cdots & A_{n2}^T \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}^T & A_{2n}^T & \cdots & A_{nn}^T \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$

其中，$A_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的小块矩阵，$A_{ij}^T$ 表示其转置。

2. 接下来，我们将矩阵 $B$ 同样分成 $n$ 个小块：

$B=\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1n} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{n1} & B_{n2} & \cdots & B_{nn} \end{bmatrix}$

其中，$B_{ij}$ 表示矩阵 $B$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的小块矩阵。

3. 然后，我们将矩阵 $A^T$ 和 $A$ 的小块按照行列对应的方式相乘，得到一个新的矩阵 $C$：

$C=\begin{bmatrix} A_{11}^TB_{11}A_{11}+A_{21}^TB_{21}A_{21}+\cdots+A_{n1}^TB_{n1}A_{n1} & A_{11}^TB_{12}A_{12}+A_{21}^TB_{22}A_{22}+\cdots+A_{n1}^TB_{n2}A_{n2} & \cdots & A_{11}^TB_{1n}A_{1n}+A_{21}^TB_{2n}A_{2n}+\cdots+A_{n1}^TB_{nn}A_{nn}\\ A_{12}^TB_{11}A_{11}+A_{22}^TB_{21}A_{21}+\cdots+A_{n2}^TB_{n1}A_{n1}& A_{12}^TB_{12}A_{12}+A_{22}^TB_{22}A_{22}+\cdots+A_{n2}^TB_{n2}A_{n2}&\cdots&A_{12}^TB_{1n}A_{1n}+A_{22}^TB_{2n}A_{2n}+\cdots+A_{n2}^TB_{nn}A_{nn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}^TB_{11}A_{11}+A_{2n}^TB_{21}A_{21}\cdots+A_{nn}^TB_{n1}A_n& A_{1n}^TB_{12}A_{12}\cdots+A_{2n}^TB_{22}&\cdots&A_n^TB_nA_n\end{bmatrix}$

4. 最后，我们可以从矩阵 $C$ 中提取出矩阵 $B$：

$B=\begin{bmatrix}(A^{-1}_{12})^TCA^{-1}_{12}&\cdots&(A^{-1}_{1n})^TCA^{-1}_{1n}\\(A^{-1}_{21})^TCA^{-1}_{21}&(A^{-1}_{22})^TCA^{-1}_{22}&\cdots&(A^{-1}_{2n})^TCA^{-1}_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ (A^{-1}_{n1})^TCA^{-1}_{n1}&(A^{-1}_{n2})^TCA^{-1}_{n2}&\cdots&(A^{-1}_{nn})^TCA^{-1}_{nn}\end{bmatrix}$

其中，$(A^{-1}_{ij})^T$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的小块的逆矩阵的转置。