对角矩阵的逆乘置换矩阵的转置再乘原矩阵等于什么

对角矩阵的逆乘置换矩阵的转置再乘原矩阵等于原矩阵本身。

对角矩阵是指只有主对角线上有非零元素，其他位置都为零的矩阵。假设我们有一个n×n的对角矩阵D，其中d1, d2, ..., dn是对角线上的元素。那么它的逆矩阵D^-1也是一个对角矩阵，其对角线上的元素为d1^-1, d2^-1, ..., dn^-1。

置换矩阵是指将矩阵的行或列进行重新排列的矩阵。假设我们有一个n×n的置换矩阵P，它的转置矩阵P^T就是将P的行和列进行互换得到的矩阵。

当我们将对角矩阵D的逆矩阵D^-1与置换矩阵P的转置矩阵P^T相乘，并再乘以原矩阵A时，得到的结果为D^-1 * P^T * A = A。

这是因为对角矩阵的逆矩阵与置换矩阵的转置矩阵相乘后仍然是对角矩阵，而对角矩阵与任意矩阵相乘时，只会改变矩阵的对角线上的元素，其他位置的元素仍然保持为零。因此，最终的结果就是原矩阵A本身。

相关问题

什么矩阵的逆矩阵等于转置

这个问题涉及到一个特殊的矩阵，即正交矩阵。如果一个矩阵的每一列都是单位向量且互相垂直，那么它就是一个正交矩阵。正交矩阵有一个很重要的性质，即其逆矩阵等于其转置矩阵。也就是说，如果 $A$ 是一个正交矩阵，那么 $A^{-1}=A^T$。

这个性质在很多领域都有应用，比如在计算机图形学中，我们常常需要对图像进行旋转、缩放等操作，这些操作可以通过正交矩阵来表示，而由于正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，因此我们可以通过矩阵的转置来实现这些操作的反转。

设计算法求三对角矩阵在压缩存储下的转置矩阵

### 回答1：
三对角矩阵在压缩存储下的转置矩阵可以通过以下算法求得：

1. 首先，将三对角矩阵的压缩存储形式转换为一般矩阵的形式，即将矩阵中的非零元素放回原来的位置上，同时补充上缺失的零元素。

2. 然后，对于一般矩阵的转置矩阵，可以直接将原矩阵的行列互换得到。

3. 最后，将转置矩阵重新压缩存储，即可得到三对角矩阵在压缩存储下的转置矩阵。

需要注意的是，在进行矩阵转置时，由于三对角矩阵的特殊性质，可以直接交换矩阵的上下三角部分，而不需要对角线上的元素进行操作。

### 回答2：
由于三对角矩阵在压缩存储下，只存储非零元素，且只有主对角线、上对角线和下对角线有非零元素，因此我们可以通过遍历压缩存储后的矩阵，来构造转置后的矩阵。

假设三对角矩阵的维数为n，其压缩存储的三个一维数组分别为a、b、c，其中a存储主对角线元素，b存储上对角线元素，c存储下对角线元素。(注意此处并不保存对角线上的元素）

那么对于转置矩阵，其非零元素也只会存在于主对角线、上对角线和下对角线，因此我们可以构造一个新的三个一维数组a'、b'、c'，分别存储转置矩阵的主对角线、上对角线和下对角线元素。

对于矩阵A的第i行第j列元素，它会出现在矩阵B的第j行第i列元素，因此我们只需要将A矩阵中的a[i]、b[i]、c[i]对应的元素值，分别存储到B矩阵的a'[i]、b'[i-1]、c'[i]位置上即可。

具体实现步骤如下：

1. 根据矩阵A的维数n，分别创建空数组a'、b'、c'，长度均为n。

2. 遍历矩阵A的压缩存储数组a、b、c，对于每一个非零元素A[i][j]，将其值存储到B[j][i]对应的位置上。

3. 对于压缩存储数组b、c，需要分别处理上对角线和下对角线元素。由于转置后的矩阵中，上对角线元素会出现在下对角线上，下对角线元素会出现在上对角线上，因此在处理上下对角线元素时，需要将它们对调并反转（即b->c，c->b）。

4. 返回构造好的转置矩阵B。

总的来说，三对角矩阵在压缩存储下的转置矩阵可以通过遍历压缩存储后的矩阵，并将每个非零元素按照转置后的位置存储到新的压缩数组中，来得到。

### 回答3：
首先，我们需要知道什么是三对角矩阵和它的压缩存储方式。

三对角矩阵是指对角线上方、下方各相邻一个对角线上的元素均为0的矩阵。例如，一个5阶的三对角矩阵可以表示为：

a1 b1 0 0 0
c1 a2 b2 0 0
0 c2 a3 b3
0 0 c3 a4 b4
0 0 0 c4 a5 b5

其中，a1,a2...a5,b1,b2...b4,c1,c2...c4为矩阵中的元素。

压缩存储方式是指将三对角矩阵中的元素压缩成一个一维数组，只保留非零元素。例如，将上述5阶矩阵压缩存储为一个一维数组，即可得到：

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a4 b4 c4 a5 b5

根据定义，转置矩阵的第i行第j列的元素等于原矩阵的第j行第i列元素。因此，要求三对角矩阵的转置，可以将原矩阵的压缩存储数组中每个非零元素的下标进行互换（即原来在第i行第j列的元素在转置矩阵中应当在第j行第i列）。

具体实现过程如下：

1. 首先，将原矩阵的压缩存储数组按照原顺序复制一份，记为A；

2. 对A中的所有下标进行互换操作。具体地，对于下标i，若它对应的行为m，列为n，则将A[i]放到其在转置矩阵中对应的位置，即A[n*(m-1)+i]。其中，下标从0开始计算。

例如，对于上述例子，按照以上步骤进行转置后可以得到：

a1 c1 0 0 0
b1 a2 c2 0 0
0 b2 a3 c3
0 0 b3 a4 c4
0 0 0 b4 a5 c5

将该转置矩阵进行压缩存储，即得到：

a1 c1 b1 a2 c2 b2 a3 c3 b3 a4 c4 b4 a5 c5

因此，设计算法求三对角矩阵在压缩存储下的转置矩阵的时间复杂度为O(n)，其中n为矩阵的大小。