A的转置乘以对称阵P再乘以B小于等于1/2A的转置乘以A加上1/2B的转置乘以P的转置乘以P乘以B。

我们可以将右边的式子展开为：

1/2B^T P^T P B + 1/2A^T A

现在我们只需要证明 A^T P B ≤ 1/2B^T P^T P B + 1/2A^T A 即可。

考虑矩阵 A^T P B 和 B^T P^T P B，它们的特征值可以分别表示为：

λi = xi^T P yi
μi = zi^T P^T P zi

其中，xi 和 yi 分别是 A 和 B 的左右特征向量，zi 是 B 的特征向量。因为 P 是对称阵，所以它可以被对角化为 P = Q Λ Q^T 的形式，其中 Λ 是对角矩阵，Q 是正交矩阵。因此，P^T P = Q Λ^T Λ Q^T，特征值可以表示为：

νi = wi^T Λ^T Λ wi

其中，wi 是 Q^T zi。由于 Q 是正交矩阵，所以它不改变向量的长度，因此 wi 和 zi 具有相同的长度。

现在我们考虑向量 x = [xi; 0] 和 y = [0; yi]，其中 0 是大小与 zi 相同的零向量。这两个向量的长度相等，因此它们可以被视为同一个空间中的向量。对于这个向量对，我们可以得到：

x^T P y = xi^T P yi ≤ λi

对于向量 w = [0; zi]，我们有：

w^T P^T P w = zi^T P^T P zi = μi

现在我们考虑向量 z = [0; yi]，并将其表示为 Qv，其中 v 是一个向量。由于 Q 是正交矩阵，所以它保持向量的长度不变，因此：

||z||^2 = ||Qv||^2 = ||v||^2

我们有：

w^T Λ^T Λ w = v^T Λ^T Λ v = νi

现在我们可以将 A^T P B 和 B^T P^T P B 表示为矩阵形式：

A^T P B = [A^T 0] [0 B]^T P [A^T 0] [0 B] = [xi^T P yi]
[0 zi^T P^T P zi]

B^T P^T P B = [0 zi]^T P^T P [0 zi] = zi^T P^T P zi

将这些结果代入不等式 A^T P B ≤ 1/2B^T P^T P B + 1/2A^T A，我们得到：

xi^T P yi ≤ 1/2 zi^T P^T P zi + 1/2 xi^T A^T A xi

这个不等式成立，因为左边是 A^T P B 的特征值，右边是 1/2B^T P^T P B + 1/2A^T A 的特征值之和。根据特征值的性质，这个和大于等于 A^T P B 的特征值。因此：

A^T P B ≤ 1/2B^T P^T P B + 1/2A^T A

证毕。