用Matlab最速下降法求解线性方程组

最速下降法是一种迭代方法，用于求解线性方程组。它的基本思路是，从一个任意的初始值开始，沿着梯度方向进行更新，直到达到一定的精度要求或者迭代次数达到预设的上限。下面是用 Matlab 实现最速下降法求解线性方程组的示例代码：

% 定义线性方程组的系数矩阵 A 和右端向量 b
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];

% 定义初始值和迭代次数上限
x0 = [0; 0; 0];
max_iter = 100;

% 计算梯度向量和初始残差向量
r0 = b - A * x0;
p0 = r0;

% 迭代求解
for k = 1:max_iter
    alpha = (r0' * r0) / (p0' * A * p0);
    x1 = x0 + alpha * p0;
    r1 = r0 - alpha * A * p0;
    if norm(r1) < 1e-6 % 判断残差是否已经足够小
        break;
    end
    beta = (r1' * r1) / (r0' * r0);
    p1 = r1 + beta * p0;
    % 更新变量
    x0 = x1;
    r0 = r1;
    p0 = p1;
end

% 输出结果
fprintf('迭代次数：%d\n', k);
fprintf('解向量：\n');
disp(x0);

需要注意的是，最速下降法的收敛速度比较慢，特别是在系数矩阵的条件数较大时。因此，通常需要结合其他的迭代方法，如共轭梯度法、GMRES 等，来加速求解过程。