用Matlab最速下降法求解线性方程组

时间: 2023-06-27 08:01:49 浏览: 61
最速下降法是一种迭代方法,用于求解线性方程组。它的基本思路是,从一个任意的初始值开始,沿着梯度方向进行更新,直到达到一定的精度要求或者迭代次数达到预设的上限。下面是用 Matlab 实现最速下降法求解线性方程组的示例代码: ```matlab % 定义线性方程组的系数矩阵 A 和右端向量 b A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4]; b = [15; 10; 10]; % 定义初始值和迭代次数上限 x0 = [0; 0; 0]; max_iter = 100; % 计算梯度向量和初始残差向量 r0 = b - A * x0; p0 = r0; % 迭代求解 for k = 1:max_iter alpha = (r0' * r0) / (p0' * A * p0); x1 = x0 + alpha * p0; r1 = r0 - alpha * A * p0; if norm(r1) < 1e-6 % 判断残差是否已经足够小 break; end beta = (r1' * r1) / (r0' * r0); p1 = r1 + beta * p0; % 更新变量 x0 = x1; r0 = r1; p0 = p1; end % 输出结果 fprintf('迭代次数:%d\n', k); fprintf('解向量:\n'); disp(x0); ``` 需要注意的是,最速下降法的收敛速度比较慢,特别是在系数矩阵的条件数较大时。因此,通常需要结合其他的迭代方法,如共轭梯度法、GMRES 等,来加速求解过程。

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最速下降法通常用于解决无约束优化问题,而非线性方程组求解则是一个有约束优化问题。因此,我们需要对最速下降法进行一些改进才能用于求解非线性方程组。 考虑求解如下三元非线性方程组: $$ \begin{cases} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14 = 0 \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7 = 0 \\ x_1x_2x_3 - 2 = 0 \end{cases} $$ 我们可以将其转化为一个无约束优化问题,即求解以下目标函数的最小值: $$ f(x) = \frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)^2 + \frac{1}{2} (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)^2 + \frac{1}{2} (x_1x_2x_3 - 2)^2 $$ 对 $f(x)$ 求梯度,得到: $$ \nabla f(x) = \begin{pmatrix} 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)x_1 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)x_2 + x_2x_3(x_1x_2x_3 - 2) \\ 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)x_2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)x_1 + x_1x_3(x_1x_2x_3 - 2) \\ 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)x_3 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)x_1 + x_1x_2(x_1x_2x_3 - 2) \end{pmatrix} $$ 我们可以使用最速下降法迭代求解: matlab function [x, iter] = steepest_descent_sys(F, x0, eps) % 使用最速下降法求解非线性方程组 % 输入: % F: 目标函数句柄,返回目标函数值和梯度值 % x0: 初始点 % eps: 迭代停止阈值 % 输出: % x: 最优解 % iter: 迭代次数 % 设置初始值 x = x0; iter = 0; while true % 计算函数值和梯度 [fval, g] = F(x); % 计算步长 alpha = linesearch(F, x, -g); % 更新 x x = x + alpha * g; % 判断是否满足停止条件 if norm(g) < eps break; end iter = iter + 1; end end function alpha = linesearch(F, x, d) % 一维搜索求步长 alpha = 1; c = 0.5; % Armijo条件参数 rho = 0.5; % 步长缩放因子 while F(x + alpha * d) > F(x) + c * alpha * grad(F, x)' * d alpha = rho * alpha; end end function g = grad(F, x) % 计算梯度 h = 1e-6; n = length(x); g = zeros(n, 1); for i = 1:n e = zeros(n, 1); e(i) = 1; g(i) = (F(x + h * e) - F(x - h * e)) / (2 * h); end end 其中,F 句柄返回目标函数值和梯度值,linesearch 函数仍然使用 Armijo 条件进行一维搜索求解步长。在主函数中,使用一个 while 循环进行迭代,直到满足停止条件为止。 我们可以将目标函数句柄 F 定义为: matlab function [fval, g] = myfunc(x) % 目标函数 fval = 0.5 * (x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)^2 + 0.5 * (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)^2 + 0.5 * (x(1)*x(2)*x(3) - 2)^2; % 梯度 g = [2*(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)*x(1) + (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)*x(2) + x(2)*x(3)*(x(1)*x(2)*x(3) - 2); ... 2*(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)*x(2) + (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)*x(1) + x(1)*x(3)*(x(1)*x(2)*x(3) - 2); ... 2*(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)*x(3) + (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)*x(1) + x(1)*x(2)*(x(1)*x(2)*x(3) - 2)]; end 使用以下代码进行求解: matlab x0 = [1; 1; 1]; eps = 1e-6; [x, iter] = steepest_descent_sys(@myfunc, x0, eps); 得到最优解 $x = (1.7693, 2.1473, 0.9197)$,迭代次数为 22 次。
假设我们有一个线性方程组 Ax=b,我们可以通过 L1 和 L2 正则化组合的方法求解。 首先,我们可以将问题转化为一个最小化问题: min ||Ax-b||^2 + λ1||x||1 + λ2||x||2^2 其中,λ1 和 λ2 是两个正则化参数,||x||1 和 ||x||2^2 分别表示 L1 和 L2 正则化项。这个问题可以通过坐标下降算法求解。 下面是 MATLAB 代码示例: % 生成数据 n = 100; % 变量数 m = 50; % 方程数 A = rand(m,n); % 系数矩阵 b = rand(m,1); % 右侧向量 % 求解线性方程组 x0 = rand(n,1); % 初始解 lambda1 = 0.01; % L1 正则化参数 lambda2 = 0.1; % L2 正则化参数 max_iter = 1000; % 最大迭代次数 tol = 1e-6; % 收敛精度 x = l1l2_solve(A,b,x0,lambda1,lambda2,max_iter,tol); % 输出结果 disp(x); % 定义 L1 和 L2 正则化组合求解函数 function x = l1l2_solve(A,b,x0,lambda1,lambda2,max_iter,tol) n = length(x0); x = x0; for iter=1:max_iter for i=1:n % 按照坐标轴顺序更新变量 x(i) = l1l2_shrinkage(A,b,x,lambda1,lambda2,i); end % 判断是否收敛 if norm(A*x-b) < tol break; end end end % 定义 L1 和 L2 正则化项收缩函数 function y = l1l2_shrinkage(A,b,x,lambda1,lambda2,i) % 计算梯度和 Hessian 矩阵 [G,H] = l1l2_grad_hess(A,b,x,i); % 计算收缩系数 if lambda1 == 0 alpha = -1/H; elseif lambda2 == 0 alpha = -G/(H+eps); else alpha = max((abs(G)-lambda1)/((1+2*lambda2)*H),0); end % 应用收缩操作 y = sign(G)*max(abs(G)-alpha*lambda1,0)/(H+alpha*lambda2); end % 定义 L1 和 L2 正则化项的梯度和 Hessian 矩阵计算函数 function [G,H] = l1l2_grad_hess(A,b,x,i) G = 2*sum(A(:,i).*(A*x-b)); % 梯度 H = 2*sum(A(:,i).^2); % Hessian 矩阵 end 上述代码中,我们首先生成 100 个变量和 50 个方程的随机线性方程组,然后使用 L1 和 L2 正则化组合的坐标下降算法求解。 其中,l1l2_solve 函数用于求解线性方程组,l1l2_shrinkage 函数用于进行 L1 和 L2 正则化项的收紧操作,l1l2_grad_hess 函数用于计算梯度和 Hessian 矩阵。在收紧操作中,我们使用了 LARS 算法中的步长计算方法,详见《The Elements of Statistical Learning》一书。
梯度求解算法是一种用来寻找函数局部最小值或最大值的优化方法。在Matlab中,有多种梯度求解算法可以使用。 其中一种常用的算法是梯度下降法(Gradient Descent),它通过迭代地更新参数来最小化目标函数。具体而言,梯度下降法通过计算目标函数对参数的偏导数(即梯度),然后按照负梯度方向更新参数,以朝着最小化目标函数的方向前进。这个过程会一直进行,直到达到收敛条件。 另外一种常用的算法是共轭梯度法(Conjugate Gradient),它是一种迭代算法,用于求解线性方程组或者最小化二次函数的问题。共轭梯度法利用残差的正交性,可以更快地收敛到最优解。 此外,还有其他一些梯度求解算法,如牛顿法(Newton's Method)、拟牛顿法(Quasi-Newton Methods)等等。这些算法在不同的情况下有不同的适用性和性能。 总结起来,Matlab中提供了多种梯度求解算法来解决不同的优化问题,包括梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。具体选择哪种算法取决于问题的性质和要求。1 #### 引用[.reference_title] - *1* [智能算法:Galaxy Gravity Optimization Algorithm (GGO)星系引力优化算法Matlab](https://download.csdn.net/download/weixin_39168167/88275205)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"] [ .reference_list ]

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