5x5的方阵行列式的计算公式是什么

对于一个 $5 \times 5$ 的方阵 $A$，它的行列式可以用拉普拉斯展开公式计算：

$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}\end{vmatrix} = a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} - a_{14}C_{14} + a_{15}C_{15}$$

其中，$C_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下的 $4 \times 4$ 子矩阵的行列式，可以表示为：

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} \begin{vmatrix}a_{1k} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \\a_{2k} & \cdots & a_{2(j-1)} & a_{2(j+1)} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{(i-1)k} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \\a_{(i+1)k} & \cdots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{nk} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}$$

使用拉普拉斯展开公式计算一个 $5 \times 5$ 的方阵行列式需要计算 25 个 $4 \times 4$ 的子矩阵的行列式，每个子矩阵的计算需要进行 16 次加减法和 20 次乘法，因此计算一个 $5 \times 5$ 的行列式总共需要进行 $25 \times (16+20) = 900$ 次基本运算。