softmax回归介绍

Softmax回归是一种多类别分类算法，它是逻辑回归在多分类问题上的推广。在softmax回归中，我们首先对每个类别分别建立一个二分类模型，然后对这些二分类模型进行组合，得到多分类模型。具体来说，对于一个有k个类别的分类问题，我们需要建立k个二分类模型，每个模型都是一个逻辑回归模型，将每个样本分为该类别和其他类别。对于每个模型，我们都可以计算出一个概率，即这个样本属于该类别的概率，然后将这些概率归一化，得到每个样本属于每个类别的概率分布。这个归一化的过程就是softmax函数的作用。

具体地说，对于一个有n个特征的样本x，其属于第j个类别的概率可以表示为：

$$
P(y=j|x)=\frac{e^{w_j \cdot x+b_j}}{\sum_{k=1}^ke^{w_k \cdot x+b_k}}
$$

其中，$w_j$和$b_j$分别是第j个二分类模型的权重和偏置，$y$表示样本的真实类别。上式中的分母是所有类别的概率和，保证了每个样本属于某个类别的概率之和为1。我们可以将上式中的分子看作是模型对该样本属于第j个类别的置信度，而分母则是对整个模型的归一化。

在训练softmax回归模型时，我们通常采用交叉熵损失函数来度量模型预测值与真实值之间的差异。具体来说，对于一个有m个样本、k个类别的数据集，其交叉熵损失函数可以表示为：

$$
L=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^k y_{i,j}log\frac{e^{w_j \cdot x_i+b_j}}{\sum_{k=1}^ke^{w_k \cdot x_i+b_k}}
$$

其中，$y_{i,j}$表示第i个样本属于第j个类别的真实标签。我们需要通过梯度下降等优化算法最小化该损失函数，从而得到最优的模型参数$w$和$b$。