三次样条插值算法c++

三次样条插值是一种基于数学函数的插值技术，常用于数据拟合和光滑曲线生成。在 C++ 中，我们可以使用泰勒级数或者贝塞尔曲线来实现三次样条插值。以下是基本步骤：

1. 定义控制点：通常需要四个已知点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), 和 (x3, y3)，它们作为样条的节点。

2. 计算分段基函数：对于每个控制点，计算两个连续的基函数 S0(t) 和 S1(t)，它们是通过构建一个三阶多项式来表示样条的一段。

3. 组装全局函数：将各个基函数拼接起来，形成全局的三次样条函数，它会在 t = [0, 1] 区间内对所有控制点进行平滑连接。

4. 插值：给定一个 x 值，通过线性搜索找到最近的控制点区间，然后使用该区间的样条函数来计算对应的 y 值。

C++ 代码示例（简化版）：

#include <cmath>

struct ControlPoint {
    double x, y;
};

double bspline_basis(double t, int i, const ControlPoint points) {
    // ... 依据公式计算贝塞尔基函数...
}

ControlPoint cubic_spline_interpolate(double x, const ControlPoint points) {
    double t = (x - points.x) / (points.x - points.x);
    return {points.x + bspline_basis(t, 0, points) * (points.x - points.x),
            points.y + bspline_basis(t, 0, points) * (points.y - points.y)};
}

// 使用时，传递控制点数组并查询插值点
int main() {
    ControlPoint points[] = {{0, 0}, {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}};
    double interpolated_x = 1.5; // 要插值的 x 值
    ControlPoint result = cubic_spline_interpolate(interpolated_x, points);
    // 输出插值结果...
}