如何用C++实现三次样条插值算法的具体步骤和代码示例？

三次样条插值是一种用于估算数据点之间函数值的数学方法，它通过构建一个三次多项式来近似数据。以下是C++实现三次样条插值的基本步骤：

1. **初始化**：需要四个点的数据(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，它们构成了一个样条的控制点。

2. **计算矩阵**：构造一个4x4的Hermite矩阵，其中包含输入点的x坐标、y坐标以及它们的一阶导数（斜率）。

   double A[4][4] = {
       {1, x0, x0*x0, x0*x0*x0},
       {0, 1, 2*x0, 3*x0*x0},
       {0, 0, 1, 3*x0},
       {0, 0, 0, 1}
   };

3. **计算权重向量**：对于每个样本点，计算相应的系数向量w，这是由样条插值公式给出的。

4. **求解插值多项式**：使用高斯消元法或LU分解解这个线性系统，得到插值系数。

5. **插入点的计算**：给定新的x值x_new，利用上述系数计算对应的y值，公式通常是`y_new = c0 + c1*x_new + c2*(x_new^2) + c3*(x_new^3)`。

double calculateInterpolatedValue(double x_new, const double (&control_points)[4][2]) {
    // 略略省略了矩阵A和系数向量w的计算部分
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        c[i] = solveLinearSystem(A, w[i]);
    }
    
    double y_new = c[0];
    y_new += c[1] * x_new;
    y_new += c[2] * pow(x_new, 2);
    y_new += c[3] * pow(x_new, 3);

    return y_new;
}