利用拉格朗日插值法,取节点 x0=2,x1 =2.5,x3=4 ,对函数 f(x)=1/x建立二次插值多项式,计算 的近似值并估计误差。
时间: 2023-06-06 14:05:21 浏览: 94
根据拉格朗日插值法,二次插值多项式的表达式为:
L2(x) = f(x0[(x-2.5)*(x-4)]/[(2-2.5)*(2-4)] + f(x1)*[(x-2)*(x-4)]/[(2.5-2)*(2.5-4)] + f(x3)*[(x-2)*(x-2.5)]/[(4-2)*(4-2.5)]
代入函数 f(x)=1/x,得到:
L2(x) = 5/16 - 4x/15 + 1x^2/12
当 x = 3 时,L2(x) 的近似值为 0.2778。
误差估计公式为:
|f(x) - L2(x)| <= (M3/3!) * |(x-x0)*(x-x1)*(x-x3)|
其中,M3 表示 f(x) 在区间 [2, 4] 上的三阶导数的最大值。
对函数 f(x)=1/x,求得 M3 的最大值为 48/125。
将 x0=2,x1=2.5,x3=4 和 x=3 代入误差估计公式,得到:
|f(3) - L2(3)| <= (48/125/6) * |(3-2)*(3-2.5)*(3-4)| ≈ 0.0137
因此,计算的近似值为 0.2778,估计误差为 0.0137。
相关问题
利用拉格朗日插值法,取节点 x0=2,x1 =2.5,x3=4 ,对函数 f(x)=1/x建立二次插值多项式,计算 f(3)的近似值并估计误差。
根据拉格朗日插值法,可以得到二次插值多项式为:
L2(x) = f(x0)*((x-2.5)*(x-4))/((2-2.5)*(2-4))
+ f(x1)*((x-2)*(x-4))/((2.5-2)*(2.5-4))
+ f(x3)*((x-2)*(x-2.5))/((4-2)*(4-2.5))
代入 f(x)=1/x,得到:
L2(x) = (2*(x-2.5)*(x-4))/((2-2.5)*(2-4)*x)
- (4*(x-2)*(x-4))/((2.5-2)*(2.5-4)*x)
+ (2.5*(x-2)*(x-2.5))/((4-2)*(4-2.5)*x)
因此,f(3)的近似值为:
L2(3) = (2*(3-2.5)*(3-4))/((2-2.5)*(2-4)*3)
- (4*(3-2)*(3-4))/((2.5-2)*(2.5-4)*3)
+ (2.5*(3-2)*(3-2.5))/((4-2)*(4-2.5)*3)
≈ 0.3043
接下来,我们需要估计误差。根据拉格朗日插值多项式的误差公式,可以得到:
f(x) - L2(x) = (x-2)*(x-2.5)*(x-4)*f^(3)(ξ)/(3!*x*x*x)
其中,f^(3)(ξ) 表示在区间 [2,4] 内 f(x)=1/x 的三阶导数,ξ 是介于 x0、x1、x3 之间的某一值。由于 f(x)=1/x 的三阶导数为 6/x^4,因此:
|f(x) - L2(x)| ≤ |(x-2)*(x-2.5)*(x-4)*6/(3!*3^4)|
当 x=3 时,误差的上界为:
|f(3) - L2(3)| ≤ |(3-2)*(3-2.5)*(3-4)*6/(3!*3^4)|
≈ 0.0026
因此,f(3) 的近似值为 0.3043,误差的上界为 0.0026。
利用拉格朗日插值法,取节点x,=2,x =2.5 ,x,=4,对函数/()=建立.3多项式,计算 f3)的近似值并估计误差
抱歉,这个问题属于数学问题,我可以回答。根据拉格朗日插值法,可以得到以下三个一次多项式:
L1(x) = f(2)(x - 2.5) / (2 - 2.5) * (2 - 4) / (2 - 2.5) = -0.5x + 2.25
L2(x) = f(2.5)(x - 2) / (2.5 - 2) * (2.5 - 4) / (2.5 - 2) = 0.5x - 1.25
L3(x) = f(4)(x - 2) / (4 - 2) * (4 - 2.5) / (4 - 2) = -x + 4
因此,根据拉格朗日插值公式,可得到f(3)的近似值:
f(3) ≈ L1(3) + L2(3) + L3(3) = -0.5(3) + 2.25 + 0.5(3) - 1.25 - 3 + 4 = 1
误差可以通过拉格朗日余项公式进行估计,式子如下:
Rn(x) = (f(n+1)(ξ)(x - x1)(x - x2)...(x - xn)) / (n+1)!
其中,ξ ∈ [2, 4],n = 3,x1 = 2,x2 = 2.5,x3 = 4。由于没有给出f(x)的具体表达形式,无法确定f(5)(ξ)的值,因此无法估计误差。