用拉格朗日插值法构造一条三次的多项式，并在图中对节点和多项式进行绘制，用python写出过程

拉格朗日插值法是一种数值分析技术，用于通过给定的数据点构建一个多项式函数，使得这个函数精确地经过所有的数据点。对于三次多项式，我们通常有4个数据点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), 和 (x3, y3)。

构建三次多项式的拉格朗日基础形式如下：

P(x) = L0(x) * y0 + L1(x) * y1 + L2(x) * y2 + L3(x) * y3

其中，L_i(x) 是拉格朗日基 polynomials，计算公式为：

L0(x) = (x - x1)(x - x0)(x - x2)(x - x3) / ((x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3))
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3) / ((x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3))
L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2) / ((x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2))

在Python中，我们可以使用matplotlib库来绘制这些点和插值后的曲线。以下是简单的步骤：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设我们有以下数据点
x_data = [1, 2, 3, 4]
y_data = [2, 5, 7, 10]

# 计算拉格朗日系数
def lagrange_basis(x, data):
    n = len(data)
    basis = [(x - x_j) / ((x_i - x_j) for x_j in data if x_j != x_i) for i, x_i in enumerate(data)]
    return np.array(basis)

# 生成拟合的插值多项式
def interpolate(x):
    basis = lagrange_basis(x, zip(x_data, y_data))
    return np.dot(basis, y_data)

# 插值点上的函数值
y_interp = interpolate(np.linspace(min(x_data), max(x_data), 100))

# 绘制原始数据点和插值曲线
plt.scatter(x_data, y_data, label='Data Points')
plt.plot(np.linspace(min(x_data), max(x_data), 100), y_interp, label='Interpolated Curve', color='red')

# 其他设置如标题、标签等
plt.title('Lagrange Interpolation of a Cubic Polynomial')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()