在区间上分别取等分，用等距节点对龙格函数作多项式插值，分别构造次插值多项式。对每个，分别画出插值函数并与真实函数做对比

好的，这是一个关于插值和龙格函数的问题。我可以提供一些思路和代码示例帮助你实现这个问题。

首先，我们需要定义龙格函数。龙格函数是一个周期为1的函数，定义如下：

$$
f(x)=\frac{1}{1+25x^2}
$$

然后，我们需要对龙格函数进行等分插值。假设我们在区间 $[-1,1]$ 上取 $n+1$ 个等分节点，节点的值为：

$$
x_k=-1+k\cdot\frac{2}{n},\quad k=0,1,\cdots,n
$$

然后，我们可以用这些节点对龙格函数进行插值，得到插值多项式 $P_n(x)$。插值多项式的计算可以用拉格朗日插值公式实现：

$$
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}f(x_k)L_k(x)
$$

其中，$L_k(x)$ 是拉格朗日基函数：

$$
L_k(x)=\prod_{i=0,i\neq k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}
$$

接着，我们可以用插值多项式 $P_n(x)$ 来近似龙格函数 $f(x)$。我们可以在 $[-1,1]$ 区间上取足够多的点，用这些点来画出插值函数和真实函数，并做对比。代码示例如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义龙格函数
def f(x):
    return 1 / (1 + 25 * x ** 2)

# 定义等分节点
def get_nodes(n):
    return np.linspace(-1, 1, n + 1)

# 定义拉格朗日基函数
def L(x, k, nodes):
    prod = 1
    for i in range(len(nodes)):
        if i != k:
            prod *= (x - nodes[i]) / (nodes[k] - nodes[i])
    return prod

# 定义插值多项式
def P(x, nodes):
    y = 0
    for k in range(len(nodes)):
        y += f(nodes[k]) * L(x, k, nodes)
    return y

# 绘制插值函数和真实函数的对比图
def plot_compare(n):
    nodes = get_nodes(n)
    x = np.linspace(-1, 1, 1000)
    y1 = f(x)
    y2 = P(x, nodes)
    plt.plot(x, y1, label='True function')
    plt.plot(x, y2, label='Interpolation function')
    plt.legend()
    plt.show()

# 测试
plot_compare(5)
plot_compare(10)
plot_compare(20)

运行代码后，会得到三个对比图，分别对应等分节点数为5、10、20的情况。可以看到，随着等分节点数的增加，插值函数越来越接近真实函数。