龙格函数f(x) = 1 1 + x 2 x ∈ [−5, 5]，取10 等分节点。完成龙格函数的分段两点三次埃尔米特插值。 给出matlab的绘制图形代码

龙格插值是一种数值积分方法，用于在一个区间内对连续函数进行近似。给定函数 f(x) = 1 + x^2，在区间 [-5, 5] 内取10等分节点，我们可以使用三点（包括两个端点和中间的一个节点）进行两次埃尔米特插值。对于每个子区间，我们首先确定三个点的坐标，然后用埃尔米特多项式的形式表示这个子区间的函数。

以下是一个简单的MATLAB代码示例，展示如何实现这个过程，并绘制插值后的曲线：

% 定义节点
x_nodes = linspace(-5, 5, 11); % 加上端点[-5, 5]
y_nodes = zeros(size(x_nodes));
y_nodes(1) = 1;       % f(-5)
y_nodes(end) = 1;      % f(5)
for i = 2:(end-1)
    x_interior = x_nodes(i);
    y_interior = 1 + x_interior^2;
    y_nodes(i) = y_interior;
    
    % 计算插值系数
    a = (x_interior - x_interior) / 6;
    c = (x_interior - x_nodes(end)) / 6;
    d = (x_nodes(i) - x_interior) * (a + b + c);
    
    % 更新节点值
    y_nodes(i) = y_interior + a*(y_interior - y_nodes(1))^2 + b*(y_nodes(2) - y_interior)^2 + c*(y_nodes(end) - y_interior)^2 + d;
end

% 绘制原始函数和插值结果
plot(x_nodes, y_nodes, 'o', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Original Function')
hold on
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Elmehit Interpolation of f(x) = 1 + x^2')

% 插值曲线
x_linear = linspace(min(x_nodes), max(x_nodes));
y_linear = interp1(x_nodes, y_nodes, x_linear, 'pchip'); % 使用PCHIP算法保持平滑性
plot(x_linear, y_linear, '-k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Interpolated Curve')
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这段代码首先计算每个节点的函数值，然后通过埃尔米特插值公式更新节点值。最后，它绘制原始函数点以及线性的插值结果。`interp1`函数用于在新范围内创建线性插值曲线。注意，因为这里使用的是二次插值，所以结果曲线会比原函数更光滑。