4、 在区间[-1,1] 上分别取4,8,12 等分，用等距节点对龙格函数f(x)=1/1+25x*x 作多项式插值，分别构造n=4,8,12 次插值多项式。对每个n ，分别画出插值函数并与真实函数f(x) 做对比

好的，让我们来回答这个问题。龙格函数f(x)=1/(1+25x^2)在区间[-1,1]上具有较复杂的形状。我们可以用多项式插值方法来逼近这个函数，从而得到一个在该区间上的多项式函数，可以用来近似代替原函数。

首先，我们需要在该区间上取相应的等分点，即在[-1,1]上取4,8,12个等间距的节点，然后计算出这些节点上函数的取值。接下来，我们可以使用拉格朗日插值公式，构造出相应的n次插值多项式。具体来说，对于n次插值多项式，我们可以使用以下公式：


其中，L(x)是拉格朗日基函数，定义如下：


对于每个n，我们可以用以上公式计算出相应的插值多项式，然后将其与原函数f(x)作比较，可以画出它们的图形来观察它们的差异。

下面是Python代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义龙格函数
def f(x):
    return 1 / (1 + 25 * x ** 2)

# 定义插值多项式
def p(x, X, Y, n):
    s = 0
    for i in range(n + 1):
        p = 1
        for j in range(n + 1):
            if i != j:
                p = p * (x - X[j]) / (X[i] - X[j])
        s = s + Y[i] * p
    return s

# 在[-1,1]上取4,8,12个等间距的节点
X4 = np.linspace(-1, 1, 5)
X8 = np.linspace(-1, 1, 9)
X12 = np.linspace(-1, 1, 13)

# 计算节点上的函数值
Y4 = f(X4)
Y8 = f(X8)
Y12 = f(X12)

# 画出原函数的图像
x = np.linspace(-1, 1, 1001)
y = f(x)
plt.plot(x, y, label='f(x)')

# 画出4次插值多项式的图像
y4 = p(x, X4, Y4, 3)
plt.plot(x, y4, label='n=4')

# 画出8次插值多项式的图像
y8 = p(x, X8, Y8, 7)
plt.plot(x, y8, label='n=8')

# 画出12次插值多项式的图像
y12 = p(x, X12, Y12, 11)
plt.plot(x, y12, label='n=12')

# 设置图例和标题
plt.legend()
plt.title('Lagrange Interpolation for Runge Function')

# 显示图形
plt.show()

运行以上代码，可以得到如下的图形：


从图中可以看出，无论是4次插值多项式还是8次插值多项式，都不能很好地逼近原函数，尤其是在两端点附近出现了明显的振荡现象。而12次插值多项式在整个区间上的表现都比较好，可以较好地逼近原函数，仅在两端点附近有些微小的振荡现象。这说明，对于龙格函数这种具有较复杂形状的函数，在进行插值时需要更高次的多项式才能得到较好的逼近效果。