带有备忘录的递归算法

递归算法是一种自我调用的算法，而带有备忘录的递归算法是在递归过程中保存已经计算过的结果，以避免重复计算。这种技术也被称为记忆化递归。

对于带有备忘录的递归算法，通常会使用一个数据结构（如数组、哈希表等）来保存已经计算过的中间结果。在进行递归调用前，先检查备忘录中是否已经有了对应的结果，如果有，则直接返回结果，避免重复计算；如果没有，则进行递归计算，并将结果保存到备忘录中。

下面是一个简单的示例，展示了如何使用备忘录优化斐波那契数列的递归实现：

def fibonacci(n, memo):
    if n <= 1:
        return n
    if memo[n] is not None:
        return memo[n]
    memo[n] = fibonacci(n-1, memo) + fibonacci(n-2, memo)
    return memo[n]

n = 10
memo = [None] * (n + 1)
print(fibonacci(n, memo))

在这个示例中，使用 `memo` 数组来保存已经计算过的斐波那契数列的值。在每次递归调用前，先检查 `memo[n]` 是否为 `None`，如果不是，则直接返回结果，避免重复计算；如果是，则进行递归计算，并将结果保存到 `memo[n]` 中。

带有备忘录的递归算法能够显著减少重复计算，提高算法的效率。但需要注意的是，备忘录的使用需要合理地选择存储结构和索引方式，以确保在递归过程中能够快速定位到已经计算过的结果。

相关问题

求解投资问题的最优值（带备忘录的动态规划，递归，代码级）

求解投资问题的最优值通常涉及财务决策中的一个问题，比如著名的“马科维茨投资组合理论”或简单的一次性资产组合优化问题。这个问题可以用动态规划（Dynamic Programming，DP）来解决，尤其是结合备忘录技术（Memoization），以避免重复计算。

备忘录动态规划是通过预先存储中间结果来优化递归算法的一种策略。当遇到相同的子问题时，它可以直接从内存中查找答案，而不是再次计算。对于投资问题，这可以表示为寻找在特定风险偏好下，如何分配资金到不同的投资项目以最大化预期收益。

以下是基本的递归函数形式，假设我们有一个投资组合和每个项目的回报率、风险：

def optimal_portfolio(returns, risk_free_rate, max_weight, memo={}):
    n = len(returns)
    
    # 边界条件：全部投资于无风险资产
    if n == 0 or max_weight == 0:
        return 0
    
    # 如果已经计算过当前组合，直接返回结果
    if (n, max_weight) in memo:
        return memo[(n, max_weight)]
    
    # 对所有可能的投资权重进行尝试
    for weight in range(max_weight + 1):
        # 计算有效边界，即满足权重限制的最大期望收益
        expected_return = weight * returns[n - 1] + (1 - weight) * risk_free_rate
        volatility = ...  # 根据风险模型计算波动率
        
        # 更新最大收益，如果新组合更好
        new_optimal = expected_return + volatility**2 * optimal_portfolio(returns[:-1], risk_free_rate, max_weight - weight, memo)
        
        # 存储结果并继续搜索
        memo[(n, max_weight)] = new_optimal
    
    return memo[(n, max_weight)]

# 使用时记得初始化备忘录
memo = {}
optimal_value = optimal_portfolio(returns_list, risk_free_rate, total_investment, memo)