${\phi _2}(\sigma ) = {\left[ {{\phi _{21}},{\phi _{22}}, {\phi _{23}},{\phi _{24}}} \right]^T}$怎么分成两行

你可以使用 `align*` 环境来将公式分成两行，如下所示：

\begin{align*}
    {\phi _2}(\sigma) = \begin{bmatrix} 
        {\phi _{21}} \\
        {\phi _{22}} \\
        {\phi _{23}} \\
        {\phi _{24}}
    \end{bmatrix}
\end{align*}

在这个示例中，我使用了 `bmatrix` 环境来创建一个带有方括号的矩阵。通过在每个元素前使用 `\\` 来实现换行，从而将公式分为两行。你可以根据需要调整矩阵的样式和元素。

请注意，为了使用 `align*` 环境，你需要在导言区引入 `amsmath` 宏包。

相关问题

$$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1 + erf\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$

The function $\Phi(x)$ is the cumulative distribution function (CDF) of the normal distribution with mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$. The CDF gives the probability that a random variable from that distribution is less than or equal to a certain value $x$.

The function $erf(z)$ is the error function, which is defined as:

$$erf(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2} dt$$

It is a standard function in mathematics and has many applications in probability theory and statistics. The error function is related to the CDF of the normal distribution, which is why it appears in the expression for $\Phi(x)$.

HTM概率模型数学推导过程

HTM（Hierarchical Temporal Memory）是一种基于神经科学原理的机器学习算法，它用于处理时序数据和模式识别任务。HTM算法中的概率模型主要用于对数据进行建模和预测。

下面是HTM概率模型的数学推导过程：

假设我们有一个时序数据集合 $D=\{x_1,x_2,...,x_T\}$，其中 $x_t$ 表示时刻 $t$ 的数据。我们希望用HTM算法对该数据进行建模和预测。

首先，我们需要定义一个概率模型来描述数据的生成过程。假设数据是由若干个隐藏变量和观测变量共同生成的，其中隐藏变量表示数据的内在结构和规律，观测变量表示我们能够观测到的数据。我们将隐藏变量记作 $h_t$，观测变量记作 $x_t$。

接下来，我们假设隐藏变量和观测变量之间存在一个条件概率分布 $P(x_t|h_t)$，表示在给定隐藏变量 $h_t$ 的情况下，观测变量 $x_t$ 的概率分布。为了简化问题，我们通常假设 $P(x_t|h_t)$ 是一个高斯分布，即：

$$
P(x_t|h_t) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n|\Sigma|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_t-\mu_t)^T\Sigma^{-1}(x_t-\mu_t)\right)
$$

其中，$n$ 表示观测变量的维度，$\mu_t$ 和 $\Sigma$ 分别表示在给定隐藏变量 $h_t$ 的情况下，观测变量 $x_t$ 的均值向量和协方差矩阵。

接着，我们假设隐藏变量之间存在一个转移概率分布 $P(h_t|h_{t-1})$，表示在给定上一时刻的隐藏变量 $h_{t-1}$ 的情况下，当前时刻的隐藏变量 $h_t$ 的概率分布。为了简化问题，我们通常假设 $P(h_t|h_{t-1})$ 是一个高斯分布，即：

$$
P(h_t|h_{t-1}) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^m|\Sigma_h|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(h_t-\Phi h_{t-1})^T\Sigma_h^{-1}(h_t-\Phi h_{t-1})\right)
$$

其中，$m$ 表示隐藏变量的维度，$\Phi$ 和 $\Sigma_h$ 分别表示转移矩阵和协方差矩阵。

最后，我们假设初始状态的隐藏变量 $h_1$ 服从一个高斯分布 $P(h_1)$，表示在初始时刻，隐藏变量 $h_1$ 的概率分布。

综合以上三个假设，我们可以得到一个完整的概率模型，即：

$$
P(D) = P(h_1)\prod_{t=2}^{T}P(h_t|h_{t-1})\prod_{t=1}^{T}P(x_t|h_t)
$$

其中，$P(D)$ 表示数据集合 $D$ 的概率分布。我们可以通过最大化 $P(D)$ 来求出最优的模型参数，从而对数据进行建模和预测。具体的参数估计方法可以使用EM算法或者变分推断等技术来实现。