把n的catalan(卡特兰)数表示为h(n),则有h(1)=1,h(n)=c(2n,n)/(n+1)(n>1)。c(n,m)表示组合数;例如,当n=5、m=2时,组合数c(5,3)=(5×4×3)/(3×2×1)=10。
时间: 2023-05-31 18:20:16 浏览: 106
### 回答1:
这道题是要求计算Catalan数列中第n项的值,其中h(1)=1,n>1时,h(n)=c(2n,n)/(n+1),其中c(n,m)表示组合数。例如当n=5,m=2时,组合数c(5,3)=(5选择3)=5x4x3/(3x2x1)=10。因此,当给定n时,可以使用公式h(n)=c(2n,n)/(n+1)来求出Catalan数列中第n项的值。
### 回答2:
卡特兰数是一种非常有趣的数学序列,它在组合数学、图形计数、数据结构和算法等领域都有广泛的应用。卡特兰数表示的是如下问题的解:在不同形态的括号序列中,有多少种合法的组合方式?例如,对于n=3,我们可以有以下5种合法的括号组合方式:((())), (()()), (())(), ()(()), ()()()。因此,h(3)=5。
根据卡特兰数的递推公式,我们可以计算出h(n)的值。首先,我们考虑n=2时,有h(2)=c(4,2)/(2)=6/2=3。这里的c(4,2)表示从4个元素中选择2个元素的组合数,即c(4,2)=(4x3)/(2x1)=6。
接下来,我们来证明卡特兰数的递推公式:
假设对于任意的k∈[1,n-1],我们已经计算得到了h(k)的值。现在考虑如何计算h(n)。首先,我们可以任意选择一个位置,将括号序列分成两个部分。然后,我们用n-1对括号填充左边的括号序列,并用n-1对括号填充右边的括号序列。这样,我们就得到了一组长度为n的括号序列。然而,这其中可能存在非法的括号组合方式,因此我们需要进行一些修正。
具体来说,我们需要将左边的序列中最右边的右括号改为左括号,同时将右边的序列中最左边的左括号改为右括号。这样,我们就得到了一组合法的括号序列。由于我们可以在任意的位置进行分组,因此一共有n种不同的分组方式。因此,我们可以得到以下递推公式:h(n)=sum(h(i)xh(n-i-1)) (i∈[0,n-1])。
这样,我们就得到了计算卡特兰数的方法。特别地,当n=1时,h(1)=1。当n>1时,我们可以使用递推公式计算h(n)的值。
### 回答3:
卡特兰数是一个非常有趣的概念,这个数列在组合数学中有着广泛的应用。卡特兰数的概念最初由欧拉引入,后来由卡特兰深入研究并用其名字命名,因此被称为卡特兰数。
卡特兰数的定义是,在不同的两个方向走过n个格点形成的路径总数。具体来说,假设有一个n x n的方格图,从左下角出发,向上或向右走n步,最后到达右上角的格点,这样的路径数就是第n个卡特兰数。显然,这个定义中的路径要满足一个非常重要的条件,即从左下角到右上角的路径不能越过对角线。
卡特兰数的求解方法很多,其中最简单的一种就是通过组合数学中的Catalan递推式来求解。这个递推式的表达式如下:
h(n) = C(2n, n) - C(2n, n-1)
其中,C(n,m)表示从n个元素中选择m个元素的组合数。
根据递推式,我们可以得到h(1) = 1,h(2) = C(4,2)/2 = 6/2 = 3,h(3) = C(6,3)/3 = 20/3,h(4) = C(8,4)/4 - C(8,3)/4 = 14。此外,我们还可以通过Catalan数的生成函数来求解最终的卡特兰数。
卡特兰数在组合数学中的应用非常广泛,例如可以用来计算括号匹配的方案数、二叉搜索树的个数、八皇后问题等等。此外,卡特兰数还具有很多有趣的性质,如h(n)的增长速度非常缓慢,近似等于4^n/n^(3/2),在数论中具有一定的应用。
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