数据结构 ST表 详解

### 回答1：
ST表（Sparse Table）是一种用于解决区间查询问题的数据结构。它可以支持在 O(1) 的时间复杂度内查询一个区间中的最大值、最小值、和、积等等。

ST表的基本思想是利用区间重叠的性质，将区间划分成若干个长度为2的子区间，对每个子区间记录其区间内的最大值、最小值、和、积等信息。这些子区间的信息可以通过递归的方式预处理出来，构建出一张类似二维表格的 ST表。查询一个区间的信息时，可以通过查询两个子区间的信息并取其合并得到。

ST表的构建时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是数据的规模。查询一个区间的信息的时间复杂度为 O(1)。ST表的空间复杂度为 O(n log n)。

ST表常用于解决区间查询问题，例如在数组中查询一个区间的最大值、最小值、和、积等信息。同时，ST表也可以用于支持动态区间查询，即在不断修改数组元素的情况下，仍然能够在 O(1) 的时间复杂度内查询任意一个区间的信息。

### 回答2：
ST表，全称Sparse Table，是一种常见的数据结构，用于支持高效地查询一段区间内的最值操作。它主要用于快速处理静态的区间最值查询问题。

ST表的构建过程很简单。首先，我们需要预处理一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从位置i开始，长度为2^j的区间内的最值。这个数组的大小需要根据具体问题来确定。

接下来，我们对dp数组进行初始化。假设我们要求最小值，那么dp[i][0]就等于位置i的元素值。然后，我们可以通过以下递推公式计算出dp数组的其他元素：dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i + 2^(j-1)][j-1])。这个公式表示，从位置i开始，长度为2^j的区间内的最值等于从位置i开始，长度为2^(j-1)的两个子区间的最值之间的较小值。

构建好dp数组后，我们就可以通过查询来快速得到区间的最值了。对于一个查询操作，我们只需要找到最小的k，使得2^k大于等于查询区间的长度。然后，我们可以通过以下递推公式计算出查询结果：min(dp[left][k], dp[right - 2^k + 1][k])。其中，left和right分别表示查询区间的左右边界。

ST表的时间复杂度主要来自于构建dp数组的过程，为O(nlogn)，其中n为数据的长度。查询的时间复杂度为O(1)，因为我们只需要进行常数次操作即可得到结果。

总结来说，ST表是一种用于高效查询区间最值的数据结构。它通过预处理和递推的方式构建二维数组，可以快速回答各种区间最值查询问题。它的时间复杂度比较低，适用于快速查询静态数据的场景。

### 回答3：
ST表是一种可以高效求解多种区间查询问题的数据结构。ST表全称为Sparse Table，它通过预处理输入序列建立一个二维表格，用于快速回答各种区间查询问题。

在ST表中，将序列中的每个元素作为第0层，每个区间的最小值或最大值作为第1层，第2层是第1层区间的最小值或最大值，以此类推，直到第log(n)层。其中n是输入序列的长度。

ST表的构建是通过动态规划的思想来完成的。假设有一个区间[a, b]，查询区间的长度为query_len，则可以将该查询区间分为两个长度为query_len/2的子区间[a, a+query_len/2-1]和[a+query_len/2, b]。通过之前已经计算到的结果，可以很快得到子区间的最小值或最大值，然后将两个子区间的最小值或最大值作为该查询区间的结果。这样，将自顶向下地计算每个查询区间的结果，即可构造出整个ST表。

ST表的查询是通过将查询区间拆解成若干个长度为2的幂次的小区间，然后对应每个小区间查询结果进行合并得到的。例如，查询区间[a, b]可以拆解成多个小区间，分别是[a, a+2^k-1]、[a+2^k, a+2^(k+1)-1]、…、[b-2^k+1, b]，其中k是满足2^k <= b-a+1的最大整数。然后对于每个小区间，在ST表中查找得到最小值或最大值，再通过合并获得整个查询区间的结果。

ST表的构建时间复杂度为O(n log(n))，其中n是输入序列的长度。每次查询的时间复杂度为O(1)。ST表适用于各种区间查询问题，如最小值、最大值、和、乘积等。但只适用于静态问题，即查询的区间不会发生改变。