一个图像21出现了15次，95出现了5次，169出现了5次，243出现了15次。用霍夫曼码压缩图像，并计算其压缩率和效率

### 回答1：
首先，我们需要计算每个数出现的概率。

- 数字21出现的概率为 15/40 = 0.375
- 数字95出现的概率为 5/40 = 0.125
- 数字169出现的概率为 5/40 = 0.125
- 数字243出现的概率为 15/40 = 0.375

接下来，我们使用霍夫曼编码对这些数字进行压缩。首先，我们需要构建霍夫曼树：

               1.00
              /    \
            0.50    0.50
           /   \   /   \
         0.25 0.25 0.125 0.125
         /  \  /  \ /  \   /  \
       21   243 95  169

通过计算霍夫曼编码，我们可以得到：

- 数字21的编码为 0
- 数字95的编码为 101
- 数字169的编码为 111
- 数字243的编码为 1

因此，通过霍夫曼编码压缩后，我们得到的压缩数据为：

0000000000000001110101010101011111111111

共计 40 位。原始数据共计 40 * 8 = 320 位。

因此，压缩率为：320 / 40 = 8。

同时，效率为：(1 - 40/320) * 100% = 87.5%。

因此，我们成功地使用霍夫曼编码对图像进行了压缩，并且获得了较高的压缩率和效率。

### 回答2：
首先，根据给定的出现次数，我们可以得到每个符号出现的概率：
P(21) = 15 / 40 = 0.375
P(95) = 5 / 40 = 0.125
P(169) = 5 / 40 = 0.125
P(243) = 15 / 40 = 0.375

接下来，我们使用霍夫曼编码对图像进行压缩：
根据概率，我们可以得到霍夫曼树如下：

0.375
/ \
21 243
/ \ / \
95 169

将每个符号对应的霍夫曼编码表示如下：
21: 0
95: 10
169: 110
243: 111

经过霍夫曼编码压缩后，原图像可以被表示为：
011011101111011111011111011111011111

接下来，我们来计算压缩率和效率：
原图像的比特数 = 40 * log2(256) = 320
压缩后的比特数 = 24
压缩率 = (压缩后的比特数 / 原图像的比特数) * 100% = (24 / 320) * 100% = 7.5%
效率 = 1 - (压缩后的比特数 / 8) / 40 = 1 - (24 / 8) / 40 = 0.75

经计算得，该图像经霍夫曼编码压缩后，压缩率为7.5%，效率为0.75。

### 回答3：
霍夫曼编码是一种无损压缩算法，适用于具有不同频率的符号。首先，我们需要根据每个符号出现的次数构建霍夫曼树，并生成对应的霍夫曼编码表。

根据题目给出的信息，图像中总共出现了15次的符号有两个：21和243，出现了5次的符号有两个：95和169。那么我们可以构建以下霍夫曼树：

21/30
/ \
15/30 3/30
/ \
1/15 2/15
/ \
5/15 10/15

根据此霍夫曼树，生成的霍夫曼编码表如下：

21：0
243：1

现在我们需要根据原图像进行压缩。原图像共有30个符号，每个符号需要使用5位二进制编码来表示。使用霍夫曼编码后，根据每个符号的出现频率，我们可以计算出压缩后图像的大小：

原图像大小 = 30 * 5 = 150位
压缩后图像大小 = (15 * 1) + (5 * 5) + (5 * 5) + (15 * 1) = 75位

因此，压缩率为 原图像大小 / 压缩后图像大小 = 150 / 75 = 2。

效率为 1 - ( 压缩后图像大小 / 原图像大小 ) = 1 - (75 / 150) = 0.5。

根据计算，该图像的压缩率为2，效率为0.5。这意味着压缩后的图像只占原图像大小的一半，也就是说压缩后的图像只需要使用原图像大小的一半来保存。而效率为0.5表示只有原图像的一半信息被用来表示压缩后的图像，即为信息利用率。