复变函数中解析函数的定义是什么？它具有哪些基本性质？

复变函数是实变量函数的推广，在复分析领域占有重要地位。在研究复变函数时，解析函数的概念至关重要。解析函数，亦称全纯函数，是指在复数域内某区域内可微的复函数。具体来说，如果函数f(z)在区域内每一点都可微，则称f(z)在该区域内解析。解析函数具有以下基本性质：

参考资源链接：[复变函数(第四版)课件](https://wenku.csdn.net/doc/h42t5y21cx?spm=1055.2569.3001.10343)

1. 线性：如果f(z)和g(z)在某区域内解析，那么对于任意复常数a和b，函数af(z)+bg(z)也在该区域内解析。
2. 可导性：解析函数在其定义域内任意点都是可导的。
3. 运算封闭性：解析函数的和、差、积、商（分母不为零时）以及复合函数仍然是解析的。
4. 解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。
5. 解析函数的积分与路径无关，仅依赖于起点和终点。
6. 解析延拓：如果函数在某一区域内解析，且该区域内的任意一点都是其解析区域的内点，则该函数可以解析延拓到更大的区域。
7. 解析函数的泰勒级数展开在收敛圆盘内一致收敛到该函数。
为了深入理解和掌握这些基本概念及其性质，建议参考《复变函数(第四版)课件》。该课件详细阐述了复变函数的核心理论，并通过实例演示了理论的实际应用，帮助读者形成直观的认识和深刻的理解。通过学习这些材料，你可以更好地掌握解析函数的定义及其性质，为进一步学习复变函数的高级内容打下坚实的基础。

参考资源链接：[复变函数(第四版)课件](https://wenku.csdn.net/doc/h42t5y21cx?spm=1055.2569.3001.10343)