运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。编程求N和M。

这是一个经典的数学问题，可以用递推的方式来解决。题目描述的是每天发放前一天剩余金牌数的一半再加一枚，直到最后一天正好剩下N枚金牌。由于最后一天恰好只剩N枚，那么在前一天（第N-1天），发放的金牌数应该是N枚减去当天剩余的金牌数，即N-1枚。

假设第0天有M枚金牌，那么我们可以建立这样的递推关系：

第0天：M - 1 = M - 1（因为第0天只发放了1枚）
第1天：(M - 3) / 2 + ... + (N-1)) / 2 + 1

根据题设，当第N天只剩下N枚金牌时，可以得到等式：

(M - 1) / 2 + (M - 3) / 2 + ... + (N-1) / 2 = N - 1

这是递推公式的基础。为了编程求解N和M，我们可以创建一个循环，通过迭代找出满足条件的N值，并计算相应的M值。但是需要注意，这个方程并没有简单的公式直接给出N和M，通常需要通过穷举或迭代方法来找到合适的整数解。

下面是一个Python的示例代码片段，用于寻找N和M：

def find_N_M():
    for N in range(2, int(M**0.5)+1):  # Start from 2 because the first day has at least one medal
        total_days = 0
        remaining_gold = M
        while remaining_gold > N:
            gold_per_day = (remaining_gold - 1) // 2 + 1
            remaining_gold -= gold_per_day
            total_days += 1
        if remaining_gold == N:
            return N, M

# 使用示例数据
# 假设已知M的实际值，比如 M = 14
M = 14
N, _ = find_N_M()
print(f"N = {N}, M = {M}")

运行该代码会输出对应的N和M值，如果找不到符合条件的解，则表示输入的数据不符合题设。