集合A={1,23,4,5,6},定义运算X7表示模7乘法,即aX7b=ab mod7. ①写出代数系统<A,X>的运算表。 ②证明该代数系统构成群。 ③写出每个元素的阶。 ④写出该群的所有子群。
时间: 2023-06-25 17:04:45 浏览: 105
①运算表如下:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
| 4 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
| 5 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
| 6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
②要证明一个代数系统<A,X>构成群,需要满足以下四条性质:
1. 封闭性:对于任意a,b∈A,有aXb∈A。
2. 结合律:对于任意a,b,c∈A,有(aXb)Xc=aX(bXc)。
3. 单位元存在性:存在一个元素e∈A,使得对于任意a∈A,有aXe=eXa=a。
4. 逆元存在性:对于任意a∈A,存在一个元素a'∈A,使得aXa'=a'Xa=e。
首先,由于模7乘法是封闭的,即对于任意a,b∈A,有aX7b∈A,因此满足封闭性。
其次,由于模7乘法满足结合律,即对于任意a,b,c∈A,有(aXb)Xc=aX(bXc),因此满足结合律。
再次,可以证明元素1是单位元,即对于任意a∈A,有aX1=1Xa=a。因此,满足单位元存在性。
最后,对于任意a∈A,可以找到一个元素a',使得aXa'=a'Xa=1。例如,a=1时,a'=1;a=2时,a'=4;a=3时,a'=5;a=4时,a'=2;a=5时,a'=3;a=6时,a'=6。因此,满足逆元存在性。
因此,由封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性可知,该代数系统<A,X>构成群。
③每个元素的阶为:
- 1的阶为1;
- 2的阶为3;
- 3的阶为6;
- 4的阶为3;
- 5的阶为6;
- 6的阶为2。
④该群的所有子群为:
- {1};
- {1, 2, 4};
- {1, 3, 5};
- {1, 2, 4, 3, 5, 6}。