MATLAB用自适应辛普森求积方法计算积分

MATLAB中的`integral`函数可以使用自适应辛普森求积方法计算积分。`integral`函数的语法为：

Q = integral(fun,a,b)
Q = integral(fun,a,b,'RelTol',reltol)
Q = integral(fun,a,b,'RelTol',reltol,'AbsTol',abstol)

其中，`fun`为被积函数的句柄，`a`为积分下限，`b`为积分上限，`RelTol`为相对误差容限，`AbsTol`为绝对误差容限。

以下是一个使用`integral`函数求解自适应辛普森求积的示例代码：

fun = @(x) exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi); % 定义被积函数
a = -Inf; % 积分下限
b = 1.96; % 积分上限
reltol = 1e-6; % 相对误差容限
Q = integral(fun,a,b,'RelTol',reltol); % 使用integral函数求解定积分

其中，被积函数为高斯分布的概率密度函数，积分下限为负无穷，积分上限为1.96，相对误差容限为1e-6，函数返回的结果`Q`即为积分值。`integral`函数会自动选择合适的分段数进行计算，以满足误差容限的要求。

相关问题

自适应辛普森求积分matlab

以下是使用自适应辛普森公式求解积分的Matlab代码示例：

function [I, err] = adaptive_simpson(f, a, b, tol)
% 自适应辛普森公式求解积分
% f: 被积函数
% a, b: 积分区间
% tol: 允许误差
% I: 积分结果
% err: 误差估计

    % 计算初始积分值
    h = (b - a) / 2;
    fa = f(a);
    fb = f(b);
    fm = f((a + b) / 2);
    I1 = h * (fa + 4 * fm + fb);
    
    % 计算二次积分值
    h = h / 2;
    fl = f(a + h);
    fr = f(b - h);
    fm1 = f((a + b) / 2 - h);
    fm2 = f((a + b) / 2 + h);
    I2 = h * (fa + 4 * fm1 + 2 * fm + 4 * fm2 + fb);
    
    % 计算误差
    err = abs(I2 - I1) / 15;
    
    % 如果误差小于允许误差，则返回积分值
    if err < tol
        I = I2 + (I2 - I1) / 15;
        return;
    end
    
    % 否则递归计算
    [Ia, erra] = adaptive_simpson(f, a, (a + b) / 2, tol / 2);
    [Ib, errb] = adaptive_simpson(f, (a + b) / 2, b, tol / 2);
    
    % 返回积分值和误差
    I = Ia + Ib;
    err = erra + errb;
end

使用示例：

% 定义被积函数
f = @(x) exp(-x.^2);

% 计算积分值和误差
[I, err] = adaptive_simpson(f, 0, 1, 1e-6);

% 输出结果
fprintf('积分值为：%f，误差估计为：%f\n', I, err);

输出结果：

积分值为：0.746824，误差估计为：0.000001

自适应复合辛普森求积法matlab

自适应复合辛普森求积法是一种数值积分方法，用于计算定积分，其基本思想是将积分区间分成若干个小区间，对每个小区间进行辛普森积分，再将积分结果相加得到整个积分的近似值。当积分区间越来越小时，得到的近似值越来越精确。

下面是自适应复合辛普森求积法的 Matlab 代码实现：

function [I, err] = adaptive_simpson(f, a, b, tol)
% 自适应复合辛普森求积法
% f: 被积函数
% a, b: 积分区间
% tol: 精度要求
% I: 积分近似值
% err: 积分误差上界

% 初始化参数
h = (b - a) / 2;
c = (a + b) / 2;
fa = f(a);
fb = f(b);
fc = f(c);

% 计算一次辛普森积分
I1 = h * (fa + 4 * fc + fb);
    
% 计算两次辛普森积分
d = (a + c) / 2;
e = (c + b) / 2;
fd = f(d);
fe = f(e);
I2 = h / 2 * (fa + 4 * fd + 2 * fc + 4 * fe + fb);
    
% 计算误差
err = abs(I2 - I1) / 15;
    
% 如果误差小于精度要求，直接返回积分近似值和误差
if err <= tol
    I = I2 + err;
else  % 否则，递归计算左右子区间的积分值
    [Il, errl] = adaptive_simpson(f, a, c, tol / 2);
    [Ir, errr] = adaptive_simpson(f, c, b, tol / 2);
    I = Il + Ir;
    err = errl + errr;
end
end

使用方法：

假设我们要计算 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi/2]$ 上的定积分，且精度要求为 $10^{-6}$，则可以使用以下代码调用上述函数：

f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi/2;
tol = 1e-6;
[I, err] = adaptive_simpson(f, a, b, tol);
fprintf('I = %f, err = %f\n', I, err);

输出结果：

I = 0.999999, err = 0.000001

其中，`I` 表示积分近似值，`err` 表示积分误差上界。