再用归纳法证明factorial递归函数的正确性？

归纳法是一种证明数学性质的有效方法，通常用于证明算法的正确性，例如阶乘函数的递归定义。阶乘(n!)是一个数列，其中n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。对于递归版本的阶乘函数：

def factorial(n):
    if n == 0 or n == 1:   # 基础情况
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)   # 归纳步骤

我们采用归纳法证明其正确性：

1. **基础情况**（零阶和一阶的阶乘）：当输入n为0或1时，`factorial(n)`直接返回1，这是显然正确的，因为0! 和 1! 都等于1。

2. **归纳假设**：我们假设对于某个正整数k，`factorial(k)`是正确的，即 `factorial(k) = k!`。

3. **归纳步骤**：现在我们需要证明当n=k+1时，`factorial(n)`也是正确的。根据递归定义，有 `factorial(n) = n * factorial(n - 1)`。根据归纳假设我们知道`factorial(n - 1) = (k + 1)! / k`（因为我们假设k!成立）。所以：

   factorial(n) = n * (k + 1)! / k
   = (k + 1) * (k + 1)! / k   （因为n = k + 1）
   = (k + 1)!                （简化除法）

这表明当n=k+1时，`factorial(n)`也等于 `(k + 1)!`，符合递归定义。

通过以上两步，我们可以得出结论：对于所有非负整数n，`factorial(n)`都是正确的。这就是递归版阶乘函数的归纳证明。