回归方程的拟合优度检验

回归方程的拟合优度检验可以通过计算决定系数 $R^2$ 来完成。$R^2$ 反映了因变量的变异中可以被自变量解释的部分所占的比例。一般来说，$R^2$ 越接近1，说明回归方程拟合得越好。

具体计算方法如下：

首先，计算总平方和 $SS_{\text{tot}}$，表示因变量 $y$ 的变异程度：

$$
SS_{\text{tot}} = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2
$$

其中，$n$ 表示样本容量，$\bar{y}$ 表示样本因变量的平均值。

接着，计算残差平方和 $SS_{\text{res}}$，表示回归模型无法解释的因变量 $y$ 的变异程度：

$$
SS_{\text{res}} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2
$$

其中，$\hat{y}_i$ 表示回归模型预测的因变量值。

最后，计算决定系数 $R^2$：

$$
R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}
$$

$R^2$ 的取值范围在0和1之间，越接近1表示回归模型的拟合优度越好。