拉格朗日求极限怎么确定基本函数,附加例题说明
时间: 2023-06-06 07:06:09 浏览: 123
好的,对于您的问题,我可以很方便地回答。在拉格朗日求极限中,我们需要先将函数表示成一个泰勒级数的形式,然后使用拉格朗日余项将该级数的误差进行估计。基本函数的选择通常是根据题目中给出的条件和要求来确定的。例如,如果我们需要求一个函数在某个点处的极限,则基本函数可以选择该点的一个邻域中的各种函数进行组合。
以下是一个例题供您参考:设$f(x) = x^2\cos\frac{1}{x^2}$ $(x\neq 0)$,$f(0)=0$。试证$f(x)$在$x=0$处连续,并且在$x=0$处的极限为$0$。
我们可以首先注意到,当$x\neq 0$时,$f(x)$是一个连续函数,因为是多个连续函数的乘积。因此,我们只需要证明$f(x)$在$x=0$处的极限为$0$。为此,我们使用拉格朗日余项公式,将$f(x)$表示成泰勒级数的形式,并且利用其余项来估计$f(x)$的误差。
因为$f(x)$是一个偶函数,所以它的泰勒级数中只包含偶次幂的项。因此,我们可以将$f(x)$表示为$f(x) = x^2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\frac{1}{x^{4n}}$。
根据拉格朗日余项公式,$f(x)$与其泰勒级数之间的误差由$f(x) - \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{(2n)!}\frac{1}{x^{4n}} = \frac{(-1)^{N+1}}{(2N+2)!}\frac{1}{x^{4N+2}}\cos\frac{1}{\xi^2}$给出,其中$\xi$是$x$与$0$之间的一个数。因此,当$N \to \infty$时,我们有$f(x) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\frac{1}{x^{4n}} = 0$。
由此可知,$f(x)$在$x=0$处的极限为$0$,因此$f(x)$在$x=0$处连续。
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