编写Java实现模多项式求逆算法

模多项式求逆（Modular Polynomial Inverse）是指在特定模下的多项式运算中，给定一个非零多项式f(x)，找到另一个多项式g(x)，使得f(x) * g(x) ≡ 1 (mod m)，其中m是一个固定的正整数，通常代表一个域或环上的模，比如有限域F_p。这个过程类似于数字中的取模逆运算，但对于多项式来说更为复杂。

在Java中，你可以使用数学库（如Apache Commons Math）或者自定义算法来实现这个功能。以下是一个基本的步骤：

1. **确定模m**：确保m是一个素数，因为模p的有限域F_p对于任何非零元素都有唯一的逆元。

2. **多项式表示**：使用大素数表示法（也叫无穷级数或多项式数组），存储多项式的系数。

3. **选择算法**：常见的求逆算法有：
- **费马小定理**（适用于小的m）：如果p不整除a，则a^(p-1) ≡ 1 mod p。
- **扩展欧几里得算法**（适用于所有情况）：结合上面提到的扩展欧几里得算法来找出多项式g(x)。

以下是一个简单的费马小定理版的模逆算法实现示例：

import java.math.BigInteger;

public BigInteger[] modularInverse(BigInteger[] polynomial, BigInteger p) {
    BigInteger inverse = BigInteger.ONE;
    BigInteger remainder = polynomial;
    
    // 应用费马小定理
    for (BigInteger currentTerm : polynomial) {
        if (currentTerm.compareTo(BigInteger.ZERO) != 0 && !remainder.equals(BigInteger.ZERO)) {
            inverse = inverse.modPow(p.subtract(BigInteger.ONE), p);
            remainder = remainder.subtract(currentTerm.multiply(inverse));
        } else {
            break;
        }
    }
    
    // 如果找不到逆元（即余数不为0），说明原始多项式没有模p的逆
    if (remainder.compareTo(BigInteger.ZERO) != 0) {
        throw new IllegalArgumentException("The given polynomial does not have an inverse modulo " + p);
    }
    
    return ArrayUtils.reverse(inverse.toArray());  // 返回逆元的系数数组，因为原样返回时系数倒置了
}

注意：这个版本只适用于小规模的多项式和较小的模p，因为它依赖于费马小定理的效率并不高。对于大规模的多项式和较大的模，建议使用更高效的算法，如扩展欧几里得算法配合霍纳法则。同时，记得导入相应的库支持`BigInteger`和`ArrayUtils`方法。