编写Java代码实现用在有限域GF(2^n)下求多项式乘法

在Java中，我们可以使用位运算和数组操作来实现有限域GF(2^n)下的多项式乘法，也称为二进制域上的多项式乘法。有限域GF(2^n)是一个由素数2的幂次构成的集合，其中加法和乘法遵循模2的规则。以下是一个简单的实现方法：

public class GF2n {
    private int n; // 有限域的大小（n = 2^m）
    private int[] coefficients; // 存储多项式的系数

    public GF2n(int n, int... coefficients) {
        this.n = n;
        this.coefficients = new int[coefficients.length + 1];
        for (int i = 0; i < coefficients.length; i++) {
            coefficients[i] = coefficients[i] % n;
        }
        coefficients[coefficients.length] = 1; // 添加常数项1
    }

    // 二进制领域多项式乘法 - 需要拉格朗日插值或快速傅立叶变换算法
    public GF2n multiply(GF2n other) {
        int degree = Math.max(this.coefficients.length - 1, other.coefficients.length - 1);
        GF2n result = new GF2n(n);

        for (int i = 0; i <= degree; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (i != j) {
                    // 对于非对应项，直接取0
                    sum ^= coefficients[j] * other.coefficients[i - j];
                } else {
                    // 对应项相乘后按n取模
                    sum ^= coefficients[j] * other.coefficients[j];
                }
            }
            result.coefficients[i] = sum % n;
        }

        return result;
    }

    // 打印多项式系数
    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < coefficients.length; i++) {
            if (i > 0) sb.append(" + ");
            sb.append(coefficients[i]).append("x^").append(i);
        }
        return sb.toString().trim();
    }
}

在这个例子中，我们首先定义了一个`GF2n`类，包含多项式的系数数组和字段`n`。`multiply`方法实现了两个多项式的乘法，使用了逐项相乘的方法。请注意，这里没有使用更高效的算法如拉格朗日插值或快速傅立叶变换（FFT），因为它们可能超出了基础教学范围。